Cho ba điểm A(-1;2;3); B(-2;1;1) và C(5;0;0). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tọa độ của H là \(H\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3};-\frac{7}{3}\right)\) \(H\left(-\frac{4}{3};-\frac{5}{3};-\frac{7}{3}\right)\) \(H\left(-\frac{4}{3};-\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) \(H\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho điểm I (1;1;1) và đường thẳng \(\left(d\right):\begin{cases}x-2y+z-9=0\\2y+z+5=0\end{cases}\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng (d). Tọa độ của H là : \(H\left(2;-3;1\right)\) \(H\left(2;-3;-1\right)\) \(H\left(2;3;1\right)\) \(H\left(-2;3;1\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho 3 điểm A(-4;4;0); B(2;0;4) và C(1;2;-1). Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng : \(\sqrt{13}\) \(\sqrt{17}\) \(\sqrt{26}\) \(\sqrt{19}\) Hướng dẫn giải:
Cho hai đường thẳng \(\left(d_1\right):\begin{cases}x=5+2t\\y=1-t\\z=5-t\end{cases}\) ; \(\left(t\in R\right)\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}x=3+2t'\\y=-3-t'\\z=1-t'\end{cases}\); \(\left(t'\in R\right)\) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứ \(\left(d_1\right)\&\left(d_2\right)\) là : \(y-z+4=0\) \(y-z-4=0\) \(y+z+4=0\) \(y+z-4=0\) Hướng dẫn giải:
Cho hai đường chéo nhau : \(\left(d_1\right):\begin{cases}x+y=0\\x-y+z+4=0\end{cases}\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}x+3y-1=0\\y-z-2=0\end{cases}\) Khoảng cách giữa \(\left(d_1\right)\&\left(d_2\right)\) là số nào ? \(\frac{3}{\sqrt{62}}\) \(\frac{6}{\sqrt{62}}\) \(\frac{9}{\sqrt{62}}\) \(\frac{12}{\sqrt{62}}\) Hướng dẫn giải: \(\left(d_1\right):\begin{cases}x+y=0\\x-y+z+4=0\end{cases}\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}x+3y-1=0\\y-z-2=0\end{cases}\)
Cho điểm A (2;-1;5) và đường thẳng (d) : \(\begin{cases}3x-2y+z+7=0\\5x-4y+3z+1=0\end{cases}\) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng : \(\frac{4\sqrt{21}}{3}\) \(\frac{5\sqrt{21}}{3}\) \(\frac{7\sqrt{21}}{3}\) \(\frac{8\sqrt{21}}{3}\) Chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải:
Tính khoảng cách từ điểm \(A=\left(0;0;1\right)\) đến đường thẳng d có phương trình \(y=x=1\) ? 1 2 \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Phương trình của d là y = x = 1 đi qua 2 điểm B(1;1;0) và C(1;1;1) nên có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{BC}=\left(0;0;1\right)\). Giả sử chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng d là H(x;y;z) thì: \(\begin{cases}y=x=1\\\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x=1\\\left(x-0;y-0;z-1\right).\left(0;0;1\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x=1\\1.\left(z-1\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) Vậy H(1;1;1) và khoảng cách từ A đến d là: \(AH=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(1-0\right)^2+\left(1-1\right)^2}=\sqrt{2}\)
Tính khoảng cách từ điểm \(A=\left(1;0;0\right)\) đến đường thẳng d có phương trình \(y=x=1-z\) ? 1 \(\sqrt{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm trên đường thẳng d là: B(0;0;1) và C(1;1;0), suy ra vecto chỉ phương của d là: \(\overrightarrow{BC}=\left(1-0;1-0;0-1\right)=\left(1;1;-1\right)\) Gọi H(x;y;z) là chân đường cao hạ từ A xuống d, ta có: \(\begin{cases}H\in d\\\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x=1-z\\\left(x-1;y-0;z-0\right).\left(1;1;-1\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x=1-z\\x-1+y-z=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\) Khoảng cách từ A đến d là: \(AH=\sqrt{\left(\frac{2}{3}-1\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
Tính khoảng cách từ điểm \(A=\left(0;0;1\right)\) đến đường thẳng d có phương trình \(\begin{cases}x+y=1\\z=0\end{cases}\) ? \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) \(\sqrt{6}\) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm B, C trên đường thẳng d có tọa độ như sau: B(1;0;0) , C(0; 1; 0). Vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow{BC}=\left(0-1;1-0;0-0\right)=\left(-1;1;0\right)\) Gọi H(x;y;z) là chân đường cao hạ từ A xuống d, ta có: \(\begin{cases}H\in d\\\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y=1\\z=0\\\left(x;y;z-1\right).\left(-1;1;0\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\\z=0\end{cases}\) Vậy \(H\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)\) và khoảng cách từ A xuống d là: \(AH=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình \(\begin{cases}y=0\\z=-1\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=0\\z=1\end{cases}\). Tìm quỹ tích các điểm trong mặt phẳng Oxy các đều hai đường thẳng đó ? Đường thẳng \(\begin{cases}z=0\\x=y\end{cases}\) Cặp đường thẳng \(\begin{cases}z=0\\x=y\end{cases}\) và \(\begin{cases}z=0\\x=-y\end{cases}\) Điểm gốc tọa độ O Mặt phẳng Oxy Hướng dẫn giải: Nếu M(x;y;z) thì dễ nhận thấy khoảng cách từ M xuống d và d' như sau: \(kc\left(M,d\right)=MH=\sqrt{y^2+\left(z-1\right)^2}\) \(kc\left(M,d'\right)=MH'=\sqrt{x^2+\left(z-1\right)^2}\) Vậy theo yêu cầu bài toán ta có: \(\begin{cases}\sqrt{y^2+\left(z-1\right)^2}=\sqrt{x^2+\left(z-1\right)^2}\\z=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=y^2\\z=0\end{cases}\)
