Chọn câu đúng ? Quỹ tích các điểm cách đều 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz là một tia (tức nửa đường thẳng) Quỹ tích các điểm cách đều 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz là một đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz là bốn đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz là tám đường thẳng Hướng dẫn giải: Các điểm cách đều Ox và Oy là mặt phẳng (P1) chứa Oz và đường phân giác góc xOy; hoặc mặt phẳng (P2) chứa Oz và đường phân giác ngoài góc xOy. Các điểm cách đều Oy và Oz là mặt phẳng (Q1) chứa Ox và đường phân giác góc yOz hoặc mặt phẳng (Q2) chứa Ox và đường phân giác ngoài góc yOz. Suy ra các điểm cách đều 3 trục Ox, Oy, Oz là: - Giao của mặt phẳng (P1) và mặt phẳng (Q1) - Giao của mặt phẳng (P1) và mặt phẳng (Q2) - Giao của mặt phẳng (P2) và mặt phẳng (Q1) - Giao của mặt phẳng (P2) và mặt phẳng (Q2)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định và có đạo hàm trong khoảng \(\left(a;d\right)\) và cõ đồ thị như hình vẽ trên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(f'\left(x\right)>0,\forall x\in\left(a;b\right)\) \(f'\left(x\right)>0,\forall x\in\left(a;b\right)\) \(f'\left(x\right)>0,\forall x\in\left(a;b\right)\) và \(f'\left(x\right)< 0,\forall x\in\left(b;c\right)\) \(f'\left(x\right)>0,\forall x\in\left(c;d\right)\) Hướng dẫn giải: Nếu D đúng thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(c;d\right)\), trong khoảng này đồ thị đi lên (từ trái qua phải),đồ thị không thể như hình vẽ đã cho. Vậy D là khẳng định sai.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A = (1,2, -1) và vuông góc với mặt phẳng có phương trình \(2x+y+z=0\). \(\dfrac{x-1}{2}=y-2=z+1\) \(2\left(x-1\right)=y-2=z+1\) \(\dfrac{x-1}{2}=-y+2=-z-1\) Có vô số đường thẳng như thế Hướng dẫn giải: Do d vuông góc với (P) nên vtcp của d là \(\overrightarrow{u}=\left(2;1;1\right)\). Do đó d có phương trình: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{1}\).
Gọi d là đường thẳng có phương trình \(x=y=z\) và d' là đường thẳng xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=0\end{matrix}\right.\). Viết phương trình tham số của đường thẳng cắt và vuông góc với cả d và d'. \(\left\{{}\begin{matrix}x=u\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}z=1\\y=u\\z=1\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=u\\z=0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+u\\y=-u\\z=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của d và (P): \(A\left(t;t;t\right)\). Gọi B là giao điểm của d' và (P): \(B\left(1;0;z\right)\). \(\overrightarrow{BA}\left(t-1;t;t-z\right)\). Do (P) vuông góc với d nên: \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{u_{cpd}}=0\Leftrightarrow t-1+t+t-z=0\). (1) Do (P) vuông góc với d' nên: \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{u_{cpd'}}=0\Leftrightarrow t-z=0\). (2) Giải (1) và (2): ta được \(t=z=\dfrac{1}{2}\). Từ đó ta suy ra: \(\overrightarrow{AB}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{-1}{2};0\right)\) và \(B\left(1;0;\dfrac{1}{2}\right)\). Ta viết được phương trình đường thẳng d là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+u\\y=-u\\z=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Cho đường thẳng d xác định bởi \(x=y=z\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x+z-1=0\\y=0\end{matrix}\right.\). d và d' trùng nhau d và d' song song d và d' chéo nhau d và d' cắt nhau tại một điểm
Cho đường thẳng \(d\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\) và đường thẳng d' xác định bởi\(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\). Gọi (S) là quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng MM', M tùy ý thuộc d, M tùy ý thuộc d'. Chọn khẳng định đúng: (S) là trục tọa độ Oy (S) là trục tọa độ Ox (S) là đường thẳng có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=t-1\\z=0\end{matrix}\right.\) (S) là mặt phẳng tọa độ (Oxy) Hướng dẫn giải: d có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=t-1\\z=-1\end{matrix}\right.\); d' có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=t-1\\z=1\end{matrix}\right.\) \(M\left(t;t-1;-1\right)\); \(M'\left(t';t'-1;1\right)\) Suy ra trung điểm của MM': \(I\left(\dfrac{t+t'}{2};\dfrac{t+t'}{2}-1;0\right)\). Suy ra (S) là đường thẳng có phương trình tham số:\(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=t-1\\z=0\end{matrix}\right.\)
Cho đường thẳng d có phương trình \(x-1=y=z+1\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\z=0\end{matrix}\right.\). Gọi (S) là quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng MM', M là điểm tùy ý thuộc d, M' là điểm tùy ý thuộc d'. Chọn khẳng định đúng: (S) là mặt phẳng có phương trình \(x-y=1\) (S) là mặt phẳng có phương trình \(x+y=1\) (S) là đường thẳng xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\) (S) là đường thẳng xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: \(M\left(t+1;t;t-1\right)\); \(M'\left(t-1;t;0\right)\)
Cho đường thẳng d xác định bởi x - 1 = 2y = z + 1 và đường thẳng d' xác định bởi x + 1= 2y + 4 = z + 3. Gọi (S) là quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng MM', M tùy ý thuộc d, M' tùy ý thuộc d'. Chọn khẳng định đúng: (S) là mặt phẳng xác định bởi \(x=2y+2\) (S) là mặt phẳng xác định bởi \(x=z+2\) (S) là đường thẳng xác định bởi \(x=2y=z\) (S) là đường thẳng xác định bởi \(x=2y+2=z+2\) Hướng dẫn giải: Dễ kiểm tra được rằng hai đường thẳng này song song với nhau nên (S) là đường thẳng song song với d và d'. Gọi đường thẳng này là d'' suy ra d'' có vtcp là: \(\overrightarrow{u}=\left(2;1;2\right)\) M (1; 0; -1); M'(-1;-2;-3). Trung điểm I của MM, là: I(0;-1;-2) Vậy phương trình đường thẳng d'' là: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{2}\Leftrightarrow x=2y+2=z+2\).
Cho đường thẳng d có phương trình \(x+1=y=z-1\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\z=0\end{matrix}\right.\). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d tới (P) và từ d' tới (P) bằng nhau. \(x+y-2z+1=0\) \(x+y+2z-1=0\) \(x-y+2z-1=0\) \(2x+y+z-1=0\) Hướng dẫn giải: d và d' chéo nhau nên (P) song song với d và d', do đó có phương trình dạng \(x+y-2z+m=0\). I(-1;0;1) thuộc d , I'(0;1;0) thuộc d'. Theo bài ra ta có: \(d\left(I;\left(P\right)\right)=d\left(I';\left(P\right)\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left|-1+0-2+m\right|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\dfrac{\left|1+m\right|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}\) \(\Leftrightarrow\left|m-3\right|=\left|1+m\right|\) \(\Leftrightarrow m=1\) Vậy phương trình mặt phẳng là: \(x+y-2z+1=0\)
Với mỗi giá trị của tham số m xác định phương trình đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y-m=0\\x-mz+m-1=0\end{matrix}\right.\). Tìm tọa độ của điểm thuộc mọi đường thẳng đó. \(\left(1;0;1\right)\) \(\left(-1;0;-1\right)\) \(\left(1;0;-1\right)\) Không có điểm nào như thế
