Với mọi tham số m, xét phương trình mặ phẳng có phương trình \(x-y+z-1+m\left(2x-z+2\right)=0\). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-2}{2}\) \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-2}{1}\) \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{2}\) Không có đường thẳng như thế Hướng dẫn giải: Đó là đường thẳng xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+z-1=0\\2x-z+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x+z-1\\z=2x+2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=t+2t+2-1\\z=2t+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=3t+1\\z=2t+2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-2}{2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d? \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{1}\). \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{-2}\). \(\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{-2}\). \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{1}\). Hướng dẫn giải: Từ phương trình tham số của d ta thấy đường thẳng này có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;3;1\right)\) và đi qua điểm A(1;0;-2). Vì vậy đáp số là \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB ? \(\overrightarrow c = (1;2;2) \) \( \overrightarrow b = ( - 1;0;2) \) \(\overrightarrow d = ( - 1;1;2) \) \(\overrightarrow a = ( - 1;0; - 2)\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức tính tọa độ của vecto \(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}=\)ì vậy \( \overrightarrow b = ( - 1;0;2) \) là vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;2;3). Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng \({M_1}{M_2}\)? \(\overrightarrow {{u_4}} ( - 1;2;0) \) \(\overrightarrow {{u_3}} (1;0;0)\) \(\overrightarrow {{u_1}} (0;2;0)\) \(\overrightarrow {{u_2}} (1;2;0)\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{array}{l} {M_1}(1;0;0),{M_2}(0;2;0)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} ( - 1;2;0) \end{array} \). Đáp số: \(\overrightarrow {{u_4}} ( - 1;2;0) \)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}\) Đường thẳng d có một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{u_1}=\left(-1;2;1\right)\) \(\overrightarrow{u_2}=\left(2;1;0\right)\) \(\overrightarrow{u_3}=\left(2;1;1\right)\) \(\overrightarrow{u_4}=\left(-1;2;0\right)\) Hướng dẫn giải: Đây là phương trình dạng chính tắc của đường thẳng. Tổng quát: Đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0 ; z0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) thì có phương trình dạng chính tắc là: \(\dfrac{x-x_0}{a_1}=\dfrac{y-y_0}{a_2}=\dfrac{z-z_0}{a_3}\)
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d_1:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{1};d_2:\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}\) và mặt phẳng (P) : \(x+2y+3z-5=0\). Đường thẳng vuông góc với (P), cắt \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình là: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}\) \(\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{3}\) \(\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}\) \(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}\) Hướng dẫn giải: Gọi đường thẳng cần tìm là (d) Giả sử \(\left(d\right)\cap\left(d_1\right)=A\) thì A(3 - a; 3 - 2a; - 2 + a) Giả sử \(\left(d\right)\cap\left(d_2\right)=B\) thì B(5 - 3b; -1 + 2b; 2 + b) \(\overrightarrow{AB}=\left(a-3b+2;2a+2b-4;-a+b+4\right)\) Vậy thì \(\overrightarrow{AB}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng (d). Do \(\left(d\right)\perp\left(P\right)\) nên \(\overrightarrow{AB}\) // \(\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)\) là một vecto pháp tuyến của (P) Vậy thì \(\dfrac{a-3b+2}{1}=\dfrac{2a+2b-4}{2}=\dfrac{-a+b+4}{3}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-6b+4=2a+2b-4\\3a-9b+6=-a+b+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(1;2;3\right)\) Và (d) đi qua A(1;-1;0) nên ta có phương trình đường thẳng (d) là: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left(2;2;1\right);B\left(-\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right)\). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là: \(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+1}{2}\) \(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}\) \(\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}\) \(\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{OA}=\left(2;2;1\right);\overrightarrow{OB}=\left(-\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right)\) \(\Rightarrow OA=3;OB=4\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]=4\left(1;-2;2\right)\) Gọi D(x;y;z) là giao điểm của phân giác góc BOA và AB. Ta có \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\overrightarrow{AD}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BD}.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=-\dfrac{3}{4}\left(x+\dfrac{8}{3}\right)\\y-2=-\dfrac{3}{4}\left(y-\dfrac{4}{3}\right)\\z-1=-\dfrac{3}{4}\left(z-\dfrac{8}{3}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{12}{7}\\z=\dfrac{12}{7}\end{matrix}\right.\Rightarrow D\left(0;\dfrac{12}{7};\dfrac{12}{7}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{21};-\dfrac{20}{27}\right)\Rightarrow BD=\dfrac{20}{7}\). Gọi \(I\left(a;b;c\right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có \(\dfrac{OI}{DI}=\dfrac{OB}{DB}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow\overrightarrow{OI}=-\dfrac{7}{5}\overrightarrow{DI}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{5}x\\y=-\dfrac{7}{5}\left(y-\dfrac{12}{7}\right)\\z=-\dfrac{7}{5}\left(z-\dfrac{12}{7}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow I\left(0;1;1\right)\) Vậy nên đường thẳng cần tìm đi qua I(0;1;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)\) Từ đó ta có phương trình đường thẳng cần tìm là \(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+1}{2}\)
Trong không gian Oxz, đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=2-t\\y=1+2t\\z=3+t\end{matrix}\right.\) có một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{u_2}=\left(2;1;1\right)\) \(\overrightarrow{u_4}=\left(-1;2;1\right)\) \(\overrightarrow{u_1}=\left(-1;2;3\right)\) \(\overrightarrow{u_3}=\left(2;1;3\right)\)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=1+4t\\z=1\end{matrix}\right.\) . Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left(1;1;1\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)\). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và \(\Delta\) có phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+7t\\y=1+t\\z=1+5t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=-10+11t\\z=6-5t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=-10+11t\\z=-6-5t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=1+4t\\z=1-5t\end{matrix}\right.\)
