Ứng với giá trị nào của m sau đây, phương trình \(\sin x=m\) có nghiệm? \(m=-3\) \(m=-2\) \(m=0\) \(m=2\) Hướng dẫn giải: Ta đã biết (SGK trang 19), phương trình \(\sin x=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left|m\right|\le1\). Vì vậy trong 4 giá trị của m đã cho, chỉ có \(m=0\) là phương trình có nghiệm.
Công thức nào sau đây xác định các nghiệm của phương trình \(\sin x=\sin\alpha\)? \(\left[{}\begin{matrix}x=-\alpha-k2\pi\\x=\alpha-k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\left[{}\begin{matrix}x=-\alpha+k\pi\\x=\alpha+k\pi\end{matrix}\right.\) \(\left[{}\begin{matrix}x=\pi-\alpha-k2\pi\\x=\alpha-k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\left[{}\begin{matrix}x=\pi+\alpha+k2\pi\\x=\alpha+k2\pi\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Xem trang 19, SGK.
Phương trình \(\sin x=-1\) có nghiệm là \(x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) \(x=\pi+k2\pi\) \(x=-\pi+k2\pi\) Hướng dẫn giải: Xem SGK trang 20
Giải phương trình \(\cos2x=1\) \(x=k2\pi\) \(x=k\pi\) \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) Hướng dẫn giải: - Nếu \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) thì \(2x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Rightarrow\cos2x=\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) nên \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) không là nghiệm của phương trình đã cho. -Tương tự, nếu \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) thì \(\cos2x=\cos\pi=-1\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) cũng không phải là nghiệm phương trình đã cho. - Sau cùng, nếu \(x=k2\pi\) hoặc \(x=k\pi\) thì \(\cos2x=1\) nên cả 2 đều nghiệm đúng phương trình đã cho. Tuy nhiên, chú ý rằng \(\left\{k\pi\right\}\backslash\left\{k2\pi\right\}=\left\{\left(k2+1\right)\pi\right\}\) nên đáp án \(x=k2\pi\) thiếu nghiệm. Đáp số đúng là \(x=k\pi\).
Chọn khẳng định đúng trong số 4 khẳng định sau đây \(1-\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\) \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\) \(\cos x\ne-1\Leftrightarrow x\ne-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\) \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) Hướng dẫn giải: - Xét khẳng định "\(1-\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)". Khẳng định này sai vì \(1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)=1-0=1\ne0\) nên \(1-\cos x\ne0\) không suy ra được \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\). - Tương tự, khẳng định "\(\cos x\ne-1\Leftrightarrow x\ne-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)" cũng sai vì \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right)=0\ne-1\) nên \(\cos x\ne-1\) không suy ra được \(x\ne-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\). - Xét khẳng định "\(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)". Ta thấy \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) mà \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=-\cos\dfrac{\pi}{2}=-0=0\) nên điều kiện \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) không đủ để kết luận \(\cos x\ne0\). Vậy khẳng dịnh đúng chỉ có thể là "\(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)". Có thể chứng tỏ điều này như sau: Ta có \(\cos x=0\Leftrightarrow\cos^2x=0\Leftrightarrow\dfrac{1+\cos2x}{2}=0\Leftrightarrow\cos2x=-1\Leftrightarrow2x=\pi+k2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) Do đó \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)