Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Công thức nào sau đây xác định các nghiệm của phương trình \(\sin x=\sin\alpha\)?
    • \(\left[{}\begin{matrix}x=-\alpha-k2\pi\\x=\alpha-k2\pi\end{matrix}\right.\)
    • \(\left[{}\begin{matrix}x=-\alpha+k\pi\\x=\alpha+k\pi\end{matrix}\right.\)
    • \(\left[{}\begin{matrix}x=\pi-\alpha-k2\pi\\x=\alpha-k2\pi\end{matrix}\right.\)
    • \(\left[{}\begin{matrix}x=\pi+\alpha+k2\pi\\x=\alpha+k2\pi\end{matrix}\right.\)
    Hướng dẫn giải:

    Xem trang 19, SGK.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình \(\cos2x=1\)
    • \(x=k2\pi\)
    • \(x=k\pi\)
    • \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
    • \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
    Hướng dẫn giải:

    - Nếu \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) thì \(2x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Rightarrow\cos2x=\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) nên \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) không là nghiệm của phương trình đã cho.
    -Tương tự, nếu \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) thì \(\cos2x=\cos\pi=-1\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) cũng không phải là nghiệm phương trình đã cho.
    - Sau cùng, nếu \(x=k2\pi\) hoặc \(x=k\pi\) thì \(\cos2x=1\) nên cả 2 đều nghiệm đúng phương trình đã cho. Tuy nhiên, chú ý rằng \(\left\{k\pi\right\}\backslash\left\{k2\pi\right\}=\left\{\left(k2+1\right)\pi\right\}\) nên đáp án \(x=k2\pi\) thiếu nghiệm. Đáp số đúng là \(x=k\pi\).
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Chọn khẳng định đúng trong số 4 khẳng định sau đây
    • \(1-\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)
    • \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)
    • \(\cos x\ne-1\Leftrightarrow x\ne-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)
    • \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
    Hướng dẫn giải:

    - Xét khẳng định "\(1-\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)". Khẳng định này sai vì \(1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)=1-0=1\ne0\) nên \(1-\cos x\ne0\) không suy ra được \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
    - Tương tự, khẳng định "\(\cos x\ne-1\Leftrightarrow x\ne-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)" cũng sai vì \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right)=0\ne-1\) nên \(\cos x\ne-1\) không suy ra được \(x\ne-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\).
    - Xét khẳng định "\(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)". Ta thấy \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) mà \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=-\cos\dfrac{\pi}{2}=-0=0\) nên điều kiện \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) không đủ để kết luận \(\cos x\ne0\).
    Vậy khẳng dịnh đúng chỉ có thể là "\(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)". Có thể chứng tỏ điều này như sau: Ta có
    \(\cos x=0\Leftrightarrow\cos^2x=0\Leftrightarrow\dfrac{1+\cos2x}{2}=0\Leftrightarrow\cos2x=-1\Leftrightarrow2x=\pi+k2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
    Do đó \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)