Cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x-2y+4z+5=0\) và điểm \(M\left(4;3;0\right)\in\left(S\right)\). Mặt phẳng đi qua M và tiếp xúc với (S) có phương trình là: \(x+2y+2z+10=0\) \(x+2y+2z-10=0\) \(x-2y+2z+10=0\) \(x-2y-2z-10=0\) Hướng dẫn giải: M thuộc tiết diện, tính được \(D=-10\) Phương trình tiết diện tại M là : \(x+2y+2z-10=0\) Vậy chọn (B)
Cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z=0\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) : \(2x-y+2z+8=0\). Có hai mặt phẳng tiếp tuyến của (S) cùng song song với \(\left(\alpha\right)\) . Đó là : \(2x-y+2z-4=0\) và \(2x-y+2z+4=0\) \(2x-y+2z+13=0\) và \(2x-y+2z-5=0\) \(2x-y+2z-13=0\) và \(2x-y+2z+5=0\) \(2x-y+2z+12=0\) và \(2x-y+2z-8=0\) Hướng dẫn giải:
Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C) có phương trình : \(\begin{cases}x^2+y^2+z^2-4x+6y+6z+17=0\\x-2y+2z+1=0\end{cases}\) Mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc mặt phẳng \(x+y+z+3=0\) có phương trình : \(\left(x+3\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-1\right)^2=20\) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+5\right)^2+\left(z+1\right)^2=20\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2+\left(z-1\right)^2=20\) \(\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-1\right)^2=20\) Hướng dẫn giải:
Cho đường tròn (C) : \(\begin{cases}\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=100\\2x-2y-z+9=0\end{cases}\) Tâm H của (C) là điểm nào ? \(H\left(1;-2;3\right)\) \(H\left(1;2;-3\right)\) \(H\left(1;2;3\right)\) \(H\left(-1;2;3\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho đường tròn (C) : \(\begin{cases}x^2+y^2+z^2-6z+4y-2z-86=0\\2x-2y-z-27=0\end{cases}\) Bán kính của (C) là số nào ? 4 6 8 10 Hướng dẫn giải:
Xét mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-10=0\). Chọn khẳng định đúng trong bốn khẳng định sau ? Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) nằm trên mặt cầu Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) nằm bên trong mặt cầu nhưng không phải là tâm mặt cầu Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) là tâm mặt cầu Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) nằm bên ngoài mặt cầu Hướng dẫn giải: \(x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-10=0\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+4+y^2+8y+16+z^2-2z+1-4-16-1-10=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2+\left(z-1\right)^2=31\) Tâm mặt cầu là I(2;-4;1) bán kính \(R=\sqrt{31}\). Khoảng cách \(IO=\sqrt{2^2+\left(-4\right)^2+1^2}=\sqrt{21}< R\) Vậy O nằm trong mặt cầu.
Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z+2=0\) và cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x+y-2z-3=0\). Chọn khẳng định đúng trong 4 khẳng định sau ? Giao của (S) và (P) là một đoạn thẳng có hai mút phân biệt Giao của (S) và (P) là một điểm Giao của (S) và (P) là một tập rỗng Giao của (S) và (P) là một đường tròn Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình mặt cấu (S) dưới dạng chuẩn: \(x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2+2z+1=4\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=2^2\) Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1) và bán kính bằng 2. Khaongr cách từ I đến mặt phẳng (P) là: \(d=\frac{\left|2.1+2-2.\left(-1\right)-3\right|}{\sqrt{2^2+1^2+\left(-2\right)^2}}=1\) Khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến tâm mặt cầu (S) nhỏ hơn bán kính mặt cầu nên (P) giao với (S) là một đường tròn.
Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z+5=0\) và cho mặt phẳng (P) xác định bởi \(z=4\). Chọn khẳng định đúng trong 4 khẳng định sau ? Giao của (S) và (P) là hai điểm phân biệt Giao của (S) và (P) là một điểm Giao của (S) và (P) là một tập rỗng Giao của (S) và (P) là một đường tròn Hướng dẫn giải: Ta tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) bằng cách đưa phương trình mặt cầu về dạng chuẩn: \(x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2-4z+4=4\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-2\right)^2=2^2\) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) và bán kính bằng 2. Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) có phương trình z - 4 = 0 là: \(d=\frac{\left|2-4\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=2\) Khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến tâm mặt cầu bằng bán kính nên (S) và (P) tiếp xúc nhau.
Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z=0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\left(1;-1;0\right)\) ? \(x+y=0\) \(2x+y-1=0\) \(x-2y-3=0\) \(x+2y-2z+1=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu viết lại là: \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+4z+4=9\) \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=3^2\) Mặt cầu có tâm I(2;1;-2) và bán kính R=3. Ta thấy điểm M(1;-1;0) thỏa mãn phương trình mặt cầu nên M nằm trên mặt cầu. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M(1;-1;0) sẽ nhận vecto \(\overrightarrow{IM}=\left(1-2;-1-1;0+2\right)=\left(-1;-2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến. Vậy mặt phẳng đó có phương trình là: \(-1.\left(x-1\right)-2.\left(y+1\right)+2\left(z-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow-x-2y+2z-1=0\) \(\Leftrightarrow x+2y-2z+1=0\)
Cho mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z=0\) và điểm \(A=\left(\sqrt{3};\sqrt{2};-1\right)\). Chọn câu đúng ? Qua điểm A có đường thẳng không cắt mặt cầu tại điểm nào và có đường thẳng cắt mặt cấu đúng một điểm Qua điểm A mọi đường thẳng đều có điểm chung với mặt cầu và nếu có hai điểm chung phân biệt thì một trong hai điểm đó là A Qua điểm A mọi đường thẳng đều cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt khác A nhưng A không phải là tâm mặt cầu A là tâm mặt cầu Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu được viết lại là: \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+4z+4-9=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=3^2\) Mặt cầu có tâm \(I\left(2;1;-2\right)\) và bán kính \(R=3\). Ta có \(IA^2=\left(\sqrt{3}-2\right)^2+\left(\sqrt{2}-1\right)^2+\left(-1+2\right)^2\) \(=11-4\sqrt{3}-2\sqrt{2}< 9\) Vậy A nằm trong mặt cầu. Suy ra mọi đường thẳng qua A đều cắt mặt cầu tại 2 điểm khác A.