Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Phương trình mặt cầu

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x-2y+4z+5=0\) và điểm \(M\left(4;3;0\right)\in\left(S\right)\). Mặt phẳng đi qua M và tiếp xúc với (S) có phương trình là:
    • \(x+2y+2z+10=0\)
    • \(x+2y+2z-10=0\)
    • \(x-2y+2z+10=0\)
    • \(x-2y-2z-10=0\)
    Hướng dẫn giải:

    01.jpg
    M thuộc tiết diện, tính được \(D=-10\)
    Phương trình tiết diện tại M là : \(x+2y+2z-10=0\)
    Vậy chọn (B)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z=0\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) : \(2x-y+2z+8=0\). Có hai mặt phẳng tiếp tuyến của (S) cùng song song với \(\left(\alpha\right)\) . Đó là :
    • \(2x-y+2z-4=0\) và \(2x-y+2z+4=0\)
    • \(2x-y+2z+13=0\) và \(2x-y+2z-5=0\)
    • \(2x-y+2z-13=0\) và \(2x-y+2z+5=0\)
    • \(2x-y+2z+12=0\) và \(2x-y+2z-8=0\)
    Hướng dẫn giải:

    01.jpg
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C) có phương trình :
    \(\begin{cases}x^2+y^2+z^2-4x+6y+6z+17=0\\x-2y+2z+1=0\end{cases}\)
    Mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc mặt phẳng \(x+y+z+3=0\) có phương trình :
    • \(\left(x+3\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-1\right)^2=20\)
    • \(\left(x-3\right)^2+\left(y+5\right)^2+\left(z+1\right)^2=20\)
    • \(\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2+\left(z-1\right)^2=20\)
    • \(\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-1\right)^2=20\)
    Hướng dẫn giải:

    01.jpg
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Xét mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-10=0\). Chọn khẳng định đúng trong bốn khẳng định sau ?
    • Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) nằm trên mặt cầu
    • Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) nằm bên trong mặt cầu nhưng không phải là tâm mặt cầu
    • Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) là tâm mặt cầu
    • Gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) nằm bên ngoài mặt cầu
    Hướng dẫn giải:

    \(x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-10=0\)
    \(\Leftrightarrow x^2-4x+4+y^2+8y+16+z^2-2z+1-4-16-1-10=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2+\left(z-1\right)^2=31\)
    Tâm mặt cầu là I(2;-4;1) bán kính \(R=\sqrt{31}\).
    Khoảng cách \(IO=\sqrt{2^2+\left(-4\right)^2+1^2}=\sqrt{21}< R\)
    Vậy O nằm trong mặt cầu.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z+2=0\) và cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x+y-2z-3=0\). Chọn khẳng định đúng trong 4 khẳng định sau ?
    • Giao của (S) và (P) là một đoạn thẳng có hai mút phân biệt
    • Giao của (S) và (P) là một điểm
    • Giao của (S) và (P) là một tập rỗng
    • Giao của (S) và (P) là một đường tròn
    Hướng dẫn giải:

    Viết lại phương trình mặt cấu (S) dưới dạng chuẩn:
    \(x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2+2z+1=4\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=2^2\)
    Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1) và bán kính bằng 2.
    Khaongr cách từ I đến mặt phẳng (P) là:
    \(d=\frac{\left|2.1+2-2.\left(-1\right)-3\right|}{\sqrt{2^2+1^2+\left(-2\right)^2}}=1\)
    Khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến tâm mặt cầu (S) nhỏ hơn bán kính mặt cầu nên (P) giao với (S) là một đường tròn.
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z+5=0\) và cho mặt phẳng (P) xác định bởi \(z=4\). Chọn khẳng định đúng trong 4 khẳng định sau ?
    • Giao của (S) và (P) là hai điểm phân biệt
    • Giao của (S) và (P) là một điểm
    • Giao của (S) và (P) là một tập rỗng
    • Giao của (S) và (P) là một đường tròn
    Hướng dẫn giải:

    Ta tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) bằng cách đưa phương trình mặt cầu về dạng chuẩn:
    \(x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2-4z+4=4\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-2\right)^2=2^2\)
    Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) và bán kính bằng 2.
    Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) có phương trình z - 4 = 0 là:
    \(d=\frac{\left|2-4\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=2\)
    Khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến tâm mặt cầu bằng bán kính nên (S) và (P) tiếp xúc nhau.
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z=0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\left(1;-1;0\right)\) ?
    • \(x+y=0\)
    • \(2x+y-1=0\)
    • \(x-2y-3=0\)
    • \(x+2y-2z+1=0\)
    Hướng dẫn giải:

    Phương trình mặt cầu viết lại là:
    \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+4z+4=9\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=3^2\)
    Mặt cầu có tâm I(2;1;-2) và bán kính R=3. Ta thấy điểm M(1;-1;0) thỏa mãn phương trình mặt cầu nên M nằm trên mặt cầu.
    Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M(1;-1;0) sẽ nhận vecto \(\overrightarrow{IM}=\left(1-2;-1-1;0+2\right)=\left(-1;-2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến. Vậy mặt phẳng đó có phương trình là:
    \(-1.\left(x-1\right)-2.\left(y+1\right)+2\left(z-0\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow-x-2y+2z-1=0\)
    \(\Leftrightarrow x+2y-2z+1=0\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z=0\) và điểm \(A=\left(\sqrt{3};\sqrt{2};-1\right)\). Chọn câu đúng ?
    • Qua điểm A có đường thẳng không cắt mặt cầu tại điểm nào và có đường thẳng cắt mặt cấu đúng một điểm
    • Qua điểm A mọi đường thẳng đều có điểm chung với mặt cầu và nếu có hai điểm chung phân biệt thì một trong hai điểm đó là A
    • Qua điểm A mọi đường thẳng đều cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt khác A nhưng A không phải là tâm mặt cầu
    • A là tâm mặt cầu
    Hướng dẫn giải:

    Phương trình mặt cầu được viết lại là:
    \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+4z+4-9=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=3^2\)
    Mặt cầu có tâm \(I\left(2;1;-2\right)\) và bán kính \(R=3\).
    Ta có \(IA^2=\left(\sqrt{3}-2\right)^2+\left(\sqrt{2}-1\right)^2+\left(-1+2\right)^2\)
    \(=11-4\sqrt{3}-2\sqrt{2}< 9\)
    Vậy A nằm trong mặt cầu. Suy ra mọi đường thẳng qua A đều cắt mặt cầu tại 2 điểm khác A.