Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x-1=0\) và mặt phẳng (P') có phương trình \(y-1=0\). Xác định quỹ tích tâm các mặt cầu tiếp xúc với (P), tiếp xúc với (P') ? Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình \(x=y\) Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình \(x+y-2=0\) Quỹ tích là hai mặt phẳng có phương trình \(x=y;x+y-2=0\) Quỹ tích là hai mặt phẳng có phương trình \(x=y\) và \(x+y-2=0\) trừ đường thẳng có phương trình \(x=y=1\) Hướng dẫn giải: Gọi tâm mặt cầu là I(x;y;z), theo yêu cầu bài toán: \(\begin{cases}kc\left(M,\left[P\right]\right)=kc\left(M,\left[P'\right]\right)\\kc\left(M,\left[P\right]\right)\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{\left|x-1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{\left|y-1\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}\\\frac{\left|x-1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left|x-1\right|=\left|y-1\right|\\\left|x-1\right|\ne0\end{cases}\) Vậy: \(x=y\) hoặc \(x+y-2=0\) trừ đường thẳng có phương trình \(x=y=1\).
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x+y-2z-6=0\) và mặt phẳng (P') có phương trình \(-x-y+2z+2=0\). Xác định quỹ tích tâm và các mặt cầu tiếp xúc với (P) và tiếp xúc với (P') Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình \(x+y-2z-8=0\) Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình \(x+y-2z+8=0\) Quỹ tích là hai mặt phẳng có phương trình \(x+y-2z\pm8=0\) Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình \(x+y-2z-4=0\) Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;-2\right)\) và của (P') là \(\overrightarrow{n_{P'}}=\left(-1;-1;2\right)=-1\left(1;1;-2\right)\). Hai vecto pháp tuyến cùng phương nên (P)//(P'). Quĩ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng song song (P) và (P') là mặt phẳng song song với hai mặt phẳng và nằm chính giữa chúng. Ta biến đối (P') có dạng: \(-x-y+2z+2=0\) \(\Leftrightarrow x+y-2z-2=0\) Mặt phẳng cách đều 2 mặt phẳng \(x+y-2z-6=0\) và \(\Leftrightarrow x+y-2z-2=0\) phải là: \(\Leftrightarrow x+y-2z-4=0\) (hệ số tự do bằng trung bình cộng hệ số tự do của hai phương trình trên)
Tìm tọa độ tâm mặt cầu đi qua các điểm \(O\left(0;0;0\right);A=\left(a;0;0\right);B=\left(0;b;0\right);C=\left(0;0;c\right),\left(abc\ne0\right)\), a, b, c là ba số cho trước \(\left(-a;-b;-c\right)\) \(\left(a;b;c\right)\) \(\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}\right)\) \(\left(\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: I cách đều OAB nên I nằm trên đường vuông góc với Oxy tại M là trung điểm của AB. Vậy tọa độ I là \(I\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};z\right)\). Tương tự I cách đều OAC nên I nằm trên đường vuông góc với Oxz tại N là trung điểm của AC. Vậy tọa độ I là: \(I\left(\frac{a}{2};y;\frac{c}{2}\right)\). Từ 2 điều trên suy ra \(I\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}\right)\)
Cho hai điểm \(A=\left(a;0;0\right);B=\left(0;b;0\right)\left(ab\ne0\right)\), a, b là hai số cho trước. Xác định quỹ tích tâm các mặt cầu đi qua A, B và gốc tọa độ \(O=\left(0;0;0\right)\) ? Đường thẳng xác định bởi \(\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\\z=0\end{cases}\) Mặt phẳng \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) Điểm \(\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};0\right)\) Đường thẳng xác định bởi \(\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Tâm mặt cầu cách đều O, A, B mà OAB là tam giác vuông nằm trên mặt Oxy nên tâm mặt cầu nằm trên đường vuông góc với Oxy tại trung điểm M của AB. Mà trung điểm M của AB có tọa độ là: \(M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};0\right)\). Đường thẳng vuông góc với Oxy tại điểm M là giao của hai mặt \(\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\end{cases}\).
Xét hai điểm \(A=\left(a;0;0\right);B=\left(0;a;0\right);a\ne0\), a là số cho trước. Tìm tọa độ tâm của mặt cầu đi qua A, B, gốc tọa độ O(0;0;0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình \(x+y-2a=0\)? \(\left(a;a;0\right)\) \(\left(a;a;-1\right)\) \(\left(a;a;1\right)\) \(\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)\) Hướng dẫn giải: Tam giác OAB vuông và nằm trong mặt phẳng Oxy nên mặt cầu đi qua O, A, B là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và đi qua M là trung điểm của AB. Trung điểm của AB là \(M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};0\right)\). Dễ thấy mặt cầu cũng sẽ đi qua điểm \(N\left(a;a\right)\) nằm trên mặt Oxy. Để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng \(x+y-2a=0\) thì tâm mặt cầu nằm trên mặt Oxy. Vậy tâm mặt cầu chính là \(M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};0\right)\)
Tìm tọa độ tâm của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện OABC, trong đó \(O=\left(0;0;0\right);A=\left(1;0;1\right);B=\left(0;1;1\right);C=\left(1;1;0\right)\) ? \(\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\) \(\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) \(\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\) \(\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi tâm là I(x;y;z) thì ta có: \(\begin{cases}OI^2=AI^2\\OI^2=BI^2\\OI^2=CI^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+y^2+z^2=\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2\\x^2+y^2+z^2=x^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\\x^2+y^2+z^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}\)
Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x=0\) và mặt cầu (S') có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x+z=0\). Kí hiệu I là tâm của (S) và I' là tâm của (S'). Chọn câu đúng ? I nằm bên ngoài mặt cầu (S') I' nằm bên ngoài mặt cầu (S) Đường thẳng II' vuông góc với mặt phẳng có phương trình z = 1 Khoảng cách II' bằng 2 Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình hai mặt cầu như sau: \(\left(S\right):\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=1\) \(\left(S\right):\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\) Suy ra: mặt cầu (S) có tâm \(I\left(1;0;0\right)\) và bán kính R=1 mặt cầu (S') có tâm\(I\left(1;0;-\frac{1}{2}\right)\) và bán kính R'=\(\frac{\sqrt{5}}{2}\) Khoảng cách \(II'=\frac{1}{2}\) đêu nhỏ hơn cả hai bán kính và II' song song với Oz.
Trong bốn phương trình mặt cầu sau đây, phương trình mặt cầu nào tiếp xúc với trục Oz. \(x^2+y^2+z^2+4x-8y+2z-2=0\) \(x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+2=0\) \(x^2+y^2+z^2+x-2y+z+1=0\) \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z+4=0\) Hướng dẫn giải: Trục Oz có phương trình là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=t\end{matrix}\right.\). Mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\)tiếp xúc với trục Oz khi và chỉ khi giao điểm của trục Oz với mặt cầu khi và chỉ khi phương trình sau có duy nhất một nghiệm: \(z^2+2cz+d=0\) Nhận thấy chỉ có đáp án \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z+4=0\) với \(z^2+4z+z=0\) có duy nhất một nghiệm.
Trong bốn phương trình mặt cầu sau đây, phương trình mặt cầu nào tiếp xúc với trục Oz. \(x^2+y^2+z^2+4x-8y+2z-2=0\) \(x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+2=0\) \(x^2+y^2+z^2+x-2y+z+1=0\) \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z+4=0\) Hướng dẫn giải: Trục Oz có phương trình là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=t\end{matrix}\right.\). Mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\)tiếp xúc với trục Oz khi và chỉ khi giao điểm của trục Oz với mặt cầu khi và chỉ khi phương trình sau có duy nhất một nghiệm: \(z^2+2cz+d=0\) Nhận thấy chỉ có đáp án \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z+4=0\) với \(z^2+4z+z=0\) có duy nhất một nghiệm.
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x-y+2z+3\left(\sqrt{2}-1\right)=0\). Viết phương trình mặt cầu nằm trong phần không gian có \(x\ge0;y\ge0;z\ge0\), tiếp xúc với ba trục Ox, Oy, Oz và tiếp xúc với mặt phẳng (P) \(x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)-1=0\) \(x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+\sqrt{2}=0\) \(x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)-\sqrt{2}=0\) \(x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+1=0\) Hướng dẫn giải: Gọi tâm mặt cầu là \(I\left(x;y;z\right)\). Do mặt cầu tiếp xác với cả ba trục tọa độ phần \(x\ge0;y\ge0;z\ge0\) nên: \(x=y=z=p\). Vậy \(I\left(p;p;p\right)\). Từ công thức khoảng cách từ một điểm tới một điểm trong không gian ta có: d(I;Ox) = d(I;Oy) = d(I;Oz) \(=p\sqrt{2}\) Do vậy d(I;(P) \(=p\sqrt{2}\). Âp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng ta có: \(d\left(I;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|2p-p+2p+3\left(\sqrt{2}-1\right)\right|}{\sqrt{9}}=p\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\left|3p+3\left(\sqrt{2}-1\right)\right|=3\sqrt{2}p\) \(\Leftrightarrow\left|p+\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}p\) \(\Leftrightarrow p+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}p\) \(\Leftrightarrow p=1\) Vậy I(1;1;1) và bán kính mặt cầu là \(\sqrt{2}\). Từ đó ta viết được phương trình mặt cầu là: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+1=0\)
