Cho hai mặt cầu (S) và (S') có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-10=0\) và \(x^2+y^2+z^2-6x-2y-2z+10=0\). Chọn khẳng định đúng: (S) và (S') có ít nhất hai điểm chung (S) và (S') ở ngoài nhau và không có điểm chung (S) và (S') tiếp xúc trong (S) và (S') ở trong nhau và không có điểm chung Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S) \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-10=0\) có tâm I(1; 2; -1); R = 4. Mặt cầu (S') \(x^2+y^2+z^2-6x-2y-2z+10=0\) có tâm I'(3;1;1); R' = 1. Do khoảng cách II' bằng hiệu hai bán kính nên hai mặt cầu (S) và (S') tiếp xúc với nhau. Khoảng cách II' \(=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(2-1\right)^2+\left(-1-1\right)^2}=3\)
Cho hai mặt cầu (S) và (S') có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x-2z+1=0\) và \(x^2+y^2+z^2-4x-6y-4z+13=0\). Chọn khẳng định đúng: (S) và (S') tiếp xúc trong (S) và (S') ở ngoài nhau và không có điểm chung (S) và (S') tiếp xúc ngoài (S) và (S') ở trong nhau và không có điểm chung Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x-2z+1=0\): tâm I(1;0;1); R = 1. Mặt cầu (S') có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x-6y-4z+13=0\): tâm I(2;3;2); R = 2. II' \(=\sqrt{\left(2-1\right)^2+3^2+\left(2-1\right)^2}=\sqrt{11}>\left|R-R'\right|\). Vậy (S) và (S') ở ngoài nhau và không có điểm chung.
Với mỗi giá trị khác 0 của tham số a, xét mặt cầu \(S_a\) có phương trình \(\left(x-a\right)^2+\left(y-a\right)^2+\left(z-a\right)^2-3a^2=0\). Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mỗi mặt cầu \(S_{\alpha}\) tại gốc tọa độ O. \(x+y+z=0\) \(x-y+z=0\) \(x-y-z=0\) \(\alpha x+y+z=0\) Hướng dẫn giải: Mặt cầu \(S_a\) có tâm tại \(I_a=\left(a;a;a\right)\) thuộc đường thẳng d xác định bởi \(x=y=z\). \(S_a\) đi qua gốc tọa độ nên mặt phẳng tiếp xúc \(S_a\) tại O vuông góc với \(I_aO\) , tức là vuông góc với d, do đó nhận \(\left(1;1;1\right)\) làm một véc tơ pháp tuyến. Mà mặt phẳng đi qua gốc tọa độ nên có phương trình: \(1.\left(x-0\right)+1\left(y-0\right)+1.\left(z-0\right)=0\)\(\Leftrightarrow x+y+z=0\).
Với mỗi giá trị của góc \(\alpha\), xét mặt cầu có phương trình \(\left(x-sin\alpha\right)^2+\left(y-cos\alpha\right)^2+z^2-1=0\). Tìm quỹ tích tâm các mặt cầu đó. Mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\) Trục \(Oz\) Đường tròn trong mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\), có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1 Mặt trụ trục \(Oz\), bán kính bằng 1 Hướng dẫn giải: Tâm mặt cầu là: \(I\left(sin\alpha;cos\alpha;0\right)\). Vì \(sin^2\left(\alpha\right)+cos^2\left(\alpha\right)=1\) nên quỹ tích là đường tròn trong mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\) , có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1.
Với mỗi tia \(Ot\) gốc O, gọi \(\alpha,\beta,\gamma\) theo thứ tự là góc hợp bởi tia Ot với tia Ox, tia Oy, tia Oz và xét mặt cầu có phương trình: \(\left(x-cos\alpha\right)^2+\left(y-cos\beta\right)^2+\left(z-cos\gamma\right)^2-1=0\). Tìm quỹ tích tâm mặt cầu đó. Đường thẳng \(x=y=z\) Ba trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) {(x,y,z)| |x|\(\le\)1,|y|\(\le1\),|z|\(\le1\)} Mặt cầu tâm O bán kính bằng 1
Với mỗi bộ tham số a, b, c (c khác 0) xét mặt cầu có phương trình \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+z^2-2cz=0\). Tìm khẳng định đúng: Mọi mặt cầu đó đi qua gốc tọa độ Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với trục Oz Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với với các mặt phẳng (Oyz) và (Oxz) Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu là c, tâm mặt cầu I(a;b;c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu theo thứ tự đến gốc tọa độ,trục Oz, mặt phẳng (Oxy) bằng \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), \(\sqrt{a^2+b^2}\), |c|
Với mỗi bộ tham số a,b,c (a,b không đồng thời bằng 0), xét mặt cầu có phương trình \(x^2-2ax+y^2-2by+\left(z-c\right)^2=0\). Tìm khẳng định đúng: Mọi mặt cầu đó đi qua gốc tọa độ Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với trục Oz Mọi mặt cầu đó tiếp xúc với trục Ox và Oy Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu \(\sqrt{a^2+b^2}\), tâm I(a,b,c). Khoảng cách từ tâm I(a.b.c) theo thứ tự đến gốc tọa độ , mặt phẳng (Oxy), trục Oz bằng \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), \(\left|c\right|,\sqrt{a^2+b^2}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=20\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. \(I\left(-1;2;4\right),R=5\sqrt{2}\). \(I\left(-1;2;-4\right),R=2\sqrt{5}\). \(I\left(1;-2;4\right),R=20\). \(I\left(1;-2;4\right),R=2\sqrt{5}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;-1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A? \(x+y-3z-8=0\). \(x-y-3z+3=0\). \(x+y+3z-9=0\). \(x+y-3z+3=0\). Hướng dẫn giải: (S) có tâm I(3;2;-1) và qua A(2;1;2) nên (S) có bán kính \(R=IA=\sqrt{\left(3-2\right)^2+\left(2-1\right)^2+\left(-1-2\right)^2}=\sqrt{11}\). Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A khi hai điều kiện sau được thực hiện: + Mặt phẳng chứa A: Tọa độ của A phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng: chỉ có hai mặt phẳng thỏa mãn điều kiện này là \(x+y+3z-9=0\) và \(x+y-3z+3=0\). + IA vuông góc với mặt phẳng: độ dài IA bằng \(\sqrt{11}\) (khoảng cách từ I tới mặt phẳng). * Khoảng cách từ I(3;2;-1) tới mặt phẳng \(x+y+3z-9=0\) là \(h=\dfrac{\left|3+2+3\left(-1\right)-9\right|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{11}}\ne\sqrt{11}\) * Khoảng cách từ I(3;2;-1) tới mặt phẳng \(x+y-3z+3=0\) là \(h=\dfrac{\left|3+2-3\left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\sqrt{11}\). Đáp số: \(x+y-3z+3=0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu \( (S): {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8 .\) Tính bán kính R của (S). \(R=8 \) \( R=4 \) \(R=2\sqrt 2 \) \(R=64\) Hướng dẫn giải: Mặt cầu \(\left(S\right):\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=m\) có bán kính bằng \(\sqrt{m}\). Đáp số: \(R=2\sqrt 2 \)
