Tìm a để 4 điểm : A ( 1; 2; 1 ), B ( 2; a ; 0 ), C ( 4; -2 ; 5 ), D ( 6; 6; 6 ) thuộc một mặt phẳng. \(a=5\) \(a=25\) \(a=\frac{78}{5}\) \(a=3\) Hướng dẫn giải: Trước hết ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A ( 1; 2; 1 ), C ( 4; -2; 5 ), D ( 6; 6; 6 ): P đi qua A và có hai vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\), ta có: \(\overrightarrow{AC}=\left(4-1;-2-2;5-1\right)=\left(3;-4;4\right)\) \(\overrightarrow{AD}=\left(6-1;6-2;6-1\right)=\left(5;4;5\right)\) \(\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-4&4\\4&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(-36;5;32\right)\) Vậy phương trình (P) đi qua A(1;2;1) và có vecto pháp tuyến (-36;5;32) là: \(-36\left(x-1\right)+5\left(y-2\right)+32\left(z-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow-36x+5y+32z-6=0\) ( P ) Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì B (2 ; a ; 0 ) thuộc mặt phẳng ( P ), ta có: -36.2 + 5.a + 32.0 - 6 = 0 \(\Leftrightarrow a=\frac{78}{5}.\)
Cho mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow{a}=\left(1;-2;3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(3;0;5\right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) là: \(5x-2y-3z-21=0\) \(-5x+2y+3z+3=0\) \(10x-4y-6z+21=0\) \(5x-2y-3z+21=0\) Hướng dẫn giải: \(\left(\alpha\right)\) song song với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) nên \(\left(\alpha\right)\) nhận \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\) làm vecto pháp tuyến. Ta có: \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-2&3\\0&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&1\\5&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-2\\3&0\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(-10;4;6\right)=2\left(-5;2;3\right)\) \(\left(\alpha\right)\) đi qua M(0;0;-1) và nhận (-5;2;3) làm vecto pháp tuyến nên nó có phương trình là: \(-5\left(x-0\right)+2\left(y-0\right)+3\left(z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow-5x+2y+3z+3=0\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 1; 1; 1 ) và song song với mặt phẳng ( Q ) : x + 2y + z = 0. x + 2y + z - 4 = 0 x - 2y - z + 4 = 0 x + 2y + z+ 4 = 0 2x + y + 2z + 5 = 0 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng song song với ( Q ) sẽ nhận VTPT \(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(1;2;1\right)\) làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A (1 ; 1; 1) nên có phương trình: \(1.\left(x-1\right)+2\left(y-1\right)+1.\left(z-1\right)=0\) hay \(x+2y+z-4=0\).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -2; 3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng: x - 3y + 2z -1 = 0 ( Q) và 2x + y - z - 1 = 0 (R). \(x+y+z+2=0\) \(-x+5y+7z-24=0\) \(x-5y-7z+24=0\) \(x+5y+7z-20=0\) Hướng dẫn giải: \(\left(P\right)\perp\left(Q\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\perp\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\) \(\left(P\right)\perp\left(R\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\cdot\left(P\right)}}\perp\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}\) Vậy VTPT của P: \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}},\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}\right]\) \(=\left[\left(1;-3;2\right),\left(2;1;-1\right)\right]\) \(=\left[\left|\begin{matrix}-3&2\\1&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\-1&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right|\right]\) \(=\left(1;5;7\right)\) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;3;1) và có vecto pháp tuyến (1;5;7) nên có dạng: 1(x + 2 ) + 5(y - 3 ) + 7(z-1) = 0 hay x + 5y +7z -20 = 0.
Trong hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm M ( -1 ; 1 ; 0 ), N ( 0; 0; - 2 ) , I (1; 1; 1) . Mặt phẳng (P) đi qua M và N đồng thời khoảng cách từ I tới ( P ) bằng \(\sqrt{3}\). Có bao nhiêu mặt phẳng ( P ) thỏa mãn ? Hai mặt phẳng Một mặt phẳng Ba mặt phẳng Bốn mặt phẳng Hướng dẫn giải:
Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; 4; 4 ). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) là lớn nhất. 3x + 4y + 4z + 11 =0 3x + 4y + 4z - 41 = 0 2z + 3y + 3z -30 = 0 4x + 3y + 3z - 36= 0 Hướng dẫn giải: Ta có: \(d\left(O,\left(P\right)\right)\le OA\) do đó \(d\left(O,\left(P\right)\right)\) lớn nhất \(\Leftrightarrow OA\perp\left(P\right)\). Vậy (P) là mặt phẳng qua A(3;4;4) và nhận \(\overrightarrow{OA}=\left(3;4;4\right)\) làm véc tơ pháp tuyến. Phương trình của (P) là: \(3\left(x-3\right)+4\left(y-4\right)+4\left(z-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow3x+4y+4z-41=0\)
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của A (1; 1; -1) và B ( 5; 2; 1 ) \(4x-y+z+1=0\) \(4x+y+z+1=0\) \(4x+y+2z-\frac{27}{2}=0\) \(4x-y-z+\frac{27}{2}=0\) Hướng dẫn giải; Vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực AB chính là \(\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{AB}=\left(4;1;2\right).\) Trung điểm của AB là: \(M=\left(\frac{1+5}{2};\frac{1+2}{2};\frac{-1+1}{2}\right)=\left(3;\frac{3}{2};0\right)\). Mặt phẳng trung trực của AB nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm \(M\left(3;\frac{3}{2};0\right)\) nên có phương trình: \(4\left(x-3\right)+1\left(y-\frac{3}{2}\right)+2\left(z-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow4x+y+2z-\frac{27}{2}=0.\)
Cho A(2; 0; -1), B(0; -2; 3). Tìm tọa độ điểm \(C\) trên tia Oy để tam giác ABC có diện tích bằng \(\sqrt{11}\) . C(0; -1; 0) C(1;1;1) C(0; 1; 0) C(0; - 2; 0) Hướng dẫn giải: Gọi \(C\left(0;y;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-2;-2;4\right),\overrightarrow{AC}=\left(-2;y;1\right)\) Ta có \(S_{ABC}=\sqrt{11}\) Độ dài của vec tơ tích có hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) bằng diện tích hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp là AB và AC, hay là bằng 2 lần diện tích tam giác ABC. Vậy ta có: \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|=\sqrt{11}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left(\left|\begin{matrix}-2&4\\y&1\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}4&-2\\1&-2\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}-2&-2\\-2&y\end{matrix}\right|\right)\right|=\sqrt{11}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left(-4y-2,-6,-2y-4\right)\right|=\sqrt{11}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{\left(4y+2\right)^2+36+\left(2y+4\right)^2}=\sqrt{11}\) \(\Leftrightarrow20y^2+32y+12=0\) \(\Leftrightarrow5y^2+8y+3=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-1\\y=\frac{-3}{5}\left(l\right)\end{array}\right.\) Vậy C(0; -1; 0)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua điểm \(B\left(3;4;-5\right)\) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(3;1;-1\right);\overrightarrow{b}=\left(1;-2;-1\right)\) là : \(3x+2y-7z-34=0\) \(-3x-2y-7z-34=0\) \(-3x+2y-7z-34=0\) \(-3x+2y-7z+34=0\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=\left(-3;2;-7\right)\) Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng cần tìm là: \(-3\left(x-3\right)+2\left(y-4\right)-7\left(z+5\right)=0\) \(\Rightarrow-3x+2y-7z-34=0\)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua \(A\left(3;-1;2\right);B\left(3;1;1\right);C\left(2;0;-2\right)\) là : \(-7x+y+2z+18=0\) \(7x+y+2z+18=0\) \(-7x+y+2z-18=0\) \(7x-y+2z+18=0\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-1\right);\overrightarrow{AC}=\left(-1;1;-4\right)\) \(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(-7;1;2\right)\) Vậy phương trình mặt phẳng qua A, B, C là: \(-7\left(x-3\right)+\left(y-1\right)+2\left(z-1\right)=0\) \(\Rightarrow-7x+y+2z+18=0\)
