Cho điểm M(1;-4;-3) và mặt phẳng \(\left(\beta\right):5x+y-2z+8=0\). Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chứa M song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) : \(2y-z+11=0\) \(2y+z+11=0\) \(y-2z+11=0\) \(y+2z+11=0\) Hãy chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải:
Cho điểm M (-3;2;-1) và hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+3y-5z+3=0;\left(\beta\right):2x-y-2z-5=0\). Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm M, vuông góc với cả hai mặt phăng \(\left(\alpha\right)\&\left(\beta\right)\). Phương trình của mặt phẳng (P) : \(11x+8y-7z+12=0\) \(11x-8y+7z+24=0\) \(11x+8y+7z+24=0\) \(11x+8y-7z+24=0\) Hãy chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải: (P) đi qua M(-3;2;-1) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) nên (P) nhận hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}}\) làm các vecto chỉ phương. \(\left(\alpha\right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(1;3;-5\right)\) \(\left(\beta\right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{\beta}}=\left(2;-1;-2\right)\) \(\left[\overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{n_{\beta}}\right]=\left(\left|\begin{matrix}3&-5\\-1&-2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&1\\-2&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right|\right)\). \(=\left(-11;-8;-7\right)\) Chọn \(\overrightarrow{n}=\left(11;8;7\right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) Phương trình (P) đi qua M(-3;2;-1) có dạng: \(11\left(x+3\right)+8\left(y-2\right)+7\left(z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow11x+8y+7z+24=0\)
Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right):3x+2y+5z+6=0;\left(\beta\right):4x+3y-2z-3=0\) Trong 4 điểm sau đây \(M_1\left(14;18;2\right);M_2\left(14;-18;-2\right)\);\(M_3\left(-5;8;-1\right);M_4\left(-5;-8;1\right)\), điểm nào nằm trên giao tuyến của \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) ? Chỉ \(M_1\) \(M_1;M_2\) Chỉ \(M_4\) \(M_1;M_4\) Chọn câu trả lời đúng ? Hướng dẫn giải: Lần lượt kiểm tra xem M1, M2, M3, M4 có thỏa mãn đồng thời hai phương trình không. Dễ nhận thấy M1, M2 thỏa cả hai.
Cho hai mặt phẳng (P) : \(x-5y+2z-4=0\) và (Q) : \(2x+y-z+9=0\). Gọi góc \(\left(\varphi\right)\) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q). \(\cos\varphi\) là số nào ? \(\frac{\sqrt{3}}{5}\) \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) \(\frac{\sqrt{6}}{5}\) \(\frac{\sqrt{5}}{6}\) Hướng dẫn giải:
Cho ba mặt phẳng : \(\left(\alpha\right):2x+y-z-1=0\) \(\left(\beta\right):3x-y-z+2=0\) \(\left(\gamma\right):4x-2y+z-3=0\) \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right),\left(\gamma\right)\) có duy nhất một điểm chung, đó là điểm nào ? \(M_1\left(1;-2;3\right)\) \(M_2\left(1;-2;-3\right)\) \(M_3\left(1;2;3\right)\) \(M_4\left(-1;2;3\right)\) Hãy chọn trả lời đúng ? Hướng dẫn giải:
Viết phương trình mặt phẳng chứa trục tọa độ Oy và đi qua điểm A=(1;2;3). \(y-2=3x-z\) \(3x=z\) \(2-y=3x-z\) \(y=z-3x\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng đi qua O(0;0;0) và có vecto chỉ phương là trục Oy (0;1;0) và \(\overrightarrow{OA}=\left(1;2;3\right)\). Vậy vecto pháp tuyến của mặt phẳng là: \(\left[\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{OA}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&0\\2&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&0\\3&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\1&2\end{matrix}\right|\right)=\left(3;0;-1\right)\) Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(3\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)-1\left(z-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow3x-z=0\) \(\Leftrightarrow3x=z\)
Cho đường thẳng d có phương trình \(\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=-z\). Và đường thẳng d' xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\2y-z=0\end{matrix}\right.\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với d'. Không có mặt phẳng (P) như thế (P) có phương trình là \(y+2z-1=0\) (P) có phương trình là \(x-y=2\) (P) có phương trình \(y+2z-2=0\) Hướng dẫn giải: Nhận xét: Đường thẳng d vuông góc với d'. Vì vậy mặt phẳng (P) sẽ đi qua M (2;1;0) thuộc d và có vtpt là vtcp của d'. Từ đó (P) có phương trình: \(y+2z-1=0\).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1 ; 2; -1) và chưa đường thẳng d có phương trình \(x-1=\dfrac{y-2}{2}=z\) và vuông góc với đường thẳng d' xác định bới \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+3=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\). (P) có phương trình \(x-y+z+2=0\) (P) có phương trình \(x-y+z-2=0\) (P) có phương trình \(x-y+1=0\) Không có mặt phẳng (P) như thế Hướng dẫn giải: d có vtcp \(\overrightarrow{u}=\left(1;\dfrac{1}{2};1\right)\), d' có vtcp \(\overrightarrow{u'}\left(1;1;0\right)\). Do \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}=1.1+1.\dfrac{1}{2}\ne0\). Vì vậy hai đường thẳng d avaf d' không vuông góc với nhau. Do đó không có mặt phẳng (P) tồn tại.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A = (1; 2; -1) song song với đường thẳng d có phương trình \(x-1=y=z+1\) và song song với đường thẳng d' có phương trình \(x-1=-y=z-2\). Không có mặt phẳng (P) như thế (P) có phương trình \(x-z-2=0\) (P) có phương trình \(x-y+z+2=0\) (P) có phương trình \(x-y+1=0\) Hướng dẫn giải: vtcp của d: \(\overrightarrow{u}=\left(1;1;1\right)\); vtcp\(\overrightarrow{u'}=\left(1;-1;1\right)\) \(\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{u'}\right]=\left(2;0;-2\right)=2\left(1;0;-1\right)\) Phương trình mặt phẳng (P): \(1.\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x-y-2=0\).
Cho phương trình tham số m: \(\left(m-1\right)x+2\left(m^2-1\right)y+\left(m-1\right)z+2\left(m-1\right)=0\). Tìm các giá trị m để phương trình đó là phương trình mặt phẳng \(x+2y+z+2=0\). m = 1 m = 2 m = -1 Không có giá trị nào thỏa mãn Hướng dẫn giải: Thử từng đáp án.
