Tìm tham số m để phương trình sau: \(\left(1+m^2\right)x-\left(1+m\right)y+\left(1+m\right)z+m=0\) là phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(x+2y-z+2=0\). m = 0 m = 1 m = -2 Không có giá trị nào của m như thế
Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình \(\left(1+2m\right)x-\left(1+m\right)y+\left(1+m\right)z+m=0\)là phương trình mặt phẳng vuông góc với phương trình mặt phẳng \(x+2y-z+1=0\). m = 0 m = 1 m = -2 Không có giá trị nào của m như thế Hướng dẫn giải: Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này vuông góc với nhau hay tích vô hướng hai véc tơ bằng 0. \(\Leftrightarrow1.\left(1+2m\right)-2\left(1+m\right)-1.\left(1+m\right)=0\) \(\Leftrightarrow-2-m=0\)\(\Leftrightarrow m=-2\)
Với mỗi tham số m xét phương trình mặt phẳng \(\left(P_m\right)\) xác định bởi phương trình \(mx+m\left(m+1\right)y+\left(m-1\right)^2z-1=0\). Tìm tọa đọ của điểm thuộc mọi mặt phẳng \(\left(P_m\right)\) \(\left(1;-2;1\right)\) \(\left(0;1;1\right)\) \(\left(3;-1;1\right)\) Không có điểm như thế Hướng dẫn giải: Đa thức bậc 2 của m đồng nhất bằng 0 với mọi m khi và chỉ khi mọi hệ số của đa thức đó triệt tiêu.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+z-5=0\). Điểm nào duwosi đây thuộc \(\left(P\right)\)? Q(2;-1;5). P(0;0;-5). N(-5;0;0). M(1;1;6). Hướng dẫn giải: Chỉ có điểm M(1;1;6) có tọa độ thỏa mãn phương trình của (P). Vì vậy điểm thuộc (P) là điểm M.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vecto nào dứoi đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oxy ? \(\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right)\). \(\overrightarrow{k}\left(0;0;1\right)\). \(\overrightarrow{j}\left(0;0;1\right)\). \(\overrightarrow{m}\left(1;1;1\right)\). Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình \(z=0\) và có vecto pháp tuyến với tọa độ \(\left(0;0;1\right)\). Vậy đáp số là \(\overrightarrow{j}\left(0;0;1\right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng qua điểm M(3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-3}{1}\)? \(3x-2y+z+12=0\) \(3x+2y+z-8=0\) \(3x-2y+z-12=0\) \(x-2y+3z+3=0\) Hướng dẫn giải: Dễ thấy nếu \(x,z>0;y< 0\) thì \(x-2y+3z+3>0\) và \(3x-2y+z+12>0\) suy ra tọa độ M không thỏa mãn hai phương trình \(x-2y+3z+3=0\), \(3x-2y+z+12=0\) . Do đó các mặt phẳng xác định bởi hai phương trình này đều không qua M. Đường thẳng \(\Delta\) đã cho có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(3;-2;1\right)\) nên mặt phẳng \(x-2y+3z+3=0\) không vuông góc với \(\Delta\). Dễ kiểm tra được rằng mặt phẳng \(3x-2y+z-12=0\) qua M và vuông góc với \(\Delta\). Đáp số: \(3x-2y+z-12=0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;-3) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n =(1;-2;3)\)? \( x-2y+3z-12=0\) \( x-2y-3z-6=0\) \(x-2y-3z+6=0 \) \(x-2y+3z+12=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;-3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n (1; - 2;3)\) là \((x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0\) hay \(x-2y+3z+12=0\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left(2;0;0\right);N\left(0;-1;0\right)\) và \(P\left(0;0;2\right)\). Mặt phẳng (MNP) có phương trình là: \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{2}=0\) \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{2}=-1\) \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{2}=1\) \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{2}=1\) Hướng dẫn giải: Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{2}=1\)
Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(-1;2;1) và B(2;1;0). Tìm phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với AB. \(3x-y-z-6=0\) \(3x-y-z+6=0\) \(x+3y+z-5=0\) \(x+3y+z-6=0\) Hướng dẫn giải: Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Do mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên \(\overrightarrow{AB}\) là một vecto pháp tuyến của (P) \(\overrightarrow{AB}=\left(3;-1;-1\right)\) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(3\left(x+1\right)-\left(y-2\right)-\left(z-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow3x-y-z+6=0\)
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox; y'Oy; z'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(OA=OB=OC\ne0\)? 3 1 4 8 Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình mặt phẳng (P) là : \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\) Theo bài ra ta có : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}=1\) (*) Giả sử \(A\left(a;0;0\right);B\left(0;b;0\right);C\left(0;0;c\right)\) \(\left(a;b;c\ne0\right)\) Vì mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox; y'Oy; z'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C và \(OA=OB=OC\ne0\) nên \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\ne0\) Vậy thì \(\left(a;b;c\right)\in\left\{\left(\alpha;\alpha;\alpha\right);\left(-\alpha;\alpha;\alpha\right);\left(\alpha;-\alpha;\alpha\right);\left(\alpha;\alpha;-\alpha\right);\left(-\alpha;-\alpha;\alpha\right);\left(-\alpha;\alpha;-\alpha\right);\left(\alpha;-\alpha;-\alpha\right);\left(-\alpha;-\alpha;-\alpha\right)\right\}\) Kết hợp điều kiện (*) ta thấy chỉ có 3 bộ số thỏa mãn: \(\left(\alpha;\alpha;\alpha\right);\left(-\alpha;\alpha;\alpha\right);\left(\alpha;-\alpha;\alpha\right)\) Vậy thì có 3 mặt phẳng thỏa mãn.
