Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): \(x+2y+3z-5=0\) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n_4}=\left(1;2;-3\right)\) \(\overrightarrow{n_3}=\left(-1;2;3\right)\) \(\overrightarrow{n_2}=\left(1;2;3\right)\) \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;2;1\right)\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng \(\left(\alpha\right):ax+by+cz+d=0\) có một vecto pháp tuyến là : \(\overrightarrow{n_1}=\left(a;b;c\right)\) Vậy nên mặt phẳng (P): \(x+2y+3z-5=0\) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(1;2;3\right)\)
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left(1;2;3\right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+7}{-2}.\) Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=-2t\\z=t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=2t\\z=3t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+2t\\z=3+2t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+2t\\z=3+3t\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Gọi đường thẳng cần tìm là (d'). Gọi vecto chỉ phương của đường thẳng (d') là \(\overrightarrow{u_{d'}}=\left(a;b;c\right)\) Theo bài ra ta có phương trình tham số của đường thẳng \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+at\\y=2+bt\\z=3+ct\end{matrix}\right.\) (d') cắt đường thẳng Ox nên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2+bt=0\\3+ct=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=-\dfrac{2}{b}\\t=-\dfrac{3}{c}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{c}{b}=\dfrac{3}{2}\) \(d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+7}{-2}\) Véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;-2\right)\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b-2c=0\\c=3b\end{matrix}\right.\) Vậy ta chọn được \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=2t\\z=3t\end{matrix}\right.\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=9\) và điểm \(A\left(2;3;-1\right)\). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là \(6x+8y-11=0\) \(3x+4y+2=0\) \(3x+4y-2=0\) \(6x+8y+11=0\)
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left(P\right):x+2y+3z-5=0\) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;2;1\right)\) \(\overrightarrow{n_3}=\left(-1;2;3\right)\) \(\overrightarrow{n_4}=\left(1;2;-3\right)\) \(\overrightarrow{n_2}=\left(1;2;3\right)\)
