Kí hiệu \(a,b\)lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(z=3-2\sqrt{2}i\). Tìm \(a,b\). \(a=3;b=2\). \(a=3;b=2\sqrt{2}\). \(a=3;b=\sqrt{2}\). \(a=3;b=-2\sqrt{2}\). Hướng dẫn giải: Xem lại định nghĩa số phức.
Tính mô đun của số phức z biết \(\overline{z}=\left(4-3i\right)\left(1+i\right)\). \(\left|x\right|=25\sqrt{2}\). \(\left|x\right|=7\sqrt{2}\). \(\left|x\right|=5\sqrt{2}\). \(\left|x\right|=\sqrt{2}\). Hướng dẫn giải: Có \(\overline{z}=\left(4-3i\right)\left(1+i\right)=4-3i+4i+3=7+i\Rightarrow z=7-i\). Do đó \(\left|z\right|=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2}\).
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z (hình bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức 2z? Điểm N. Điểm Q. Điểm E. Điểm P. Hướng dẫn giải: Gọi M' là điểm biểu diễn số phức \(2z\). Nếu \(z=x+yi\) thì \(M\left(x;y\right)\) và \(2z=2\left(x+yi\right)=2x+2yi\), do đó M' \(\left(2x;2y\right)\) . Như vậy \(\overrightarrow{OM}\left(x;y\right),\overrightarrow{OM'}\left(2x;2y\right)\Rightarrow\overrightarrow{OM'}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow M'\equiv E\). Đáp số: Điểm E.
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left|z-i\right|=5\) và \(z^2\) là số thuần ảo? 2. 4. 0. 3. Hướng dẫn giải: Đặt \(z=x+yi,\left(x.y\in\mathbb{R}\right)\) thì \(z-i=x+\left(y-1\right)i,\left|z-i\right|=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}\) và \(z^2=\left(x^2-y^2\right)+2xyi\). Điều kiện đề bài được thực hiện khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(y-1\right)^2=25\\x^2-y^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(y-1\right)^2=25\\y=\pm x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x\\x^2+\left(x-1\right)^2=25\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-x\\x^2+\left(-x-1\right)^2=25\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1) Phương trình \(x^2+\left(x-1\right)^2=25\Leftrightarrow2x^2-2x-24=0\) có hai nghiệm phân biệt (trái dấu). Phương trình \(x^2+\left(-x-1\right)^2=25\Leftrightarrow2x^2+2x-24=0\) có hai nghiệm phân biệt (trái dấu). Vì vậy (1) có bốn nghiệm phân biệt. Do đó có 4 số phức thỏa mãn điều kiện đề bài.
Xét các số phức z thỏa mãn \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2}\) . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(\left|z-1+i\right|\). Tính \(P=m+M\). \(\sqrt{13}+\sqrt{73}\). \(\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}\). \(5\sqrt{2}+\sqrt{73}\). \(\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}\). Hướng dẫn giải: Đặt \(w=x+yi=z-1+i\Rightarrow z+2-i=w+3-2i=\left(x+3\right)+\left(y-2\right)i\) và \(z-4-7i=w-3-8i=\left(x-3\right)+\left(y-8\right)i\). Suy ra \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(8-y\right)^2}\). Áp dụng bất đẳng thức tam giác \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)ta suy ra \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|\ge\sqrt{\left(x+3+3-x\right)^2+\left(y-2+8-y\right)^2}=6\sqrt{2}\) (1) Giả thiết về z chứng tỏ (1) xảy ra đẳng thức tức là \(\dfrac{x+3}{3-x}=\dfrac{y-2}{8+y}\Leftrightarrow y=x+5\) , do đó \(\left|z-1+i\right|=\left|w\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\left(x+5\right)^2}\) Chú ý rằng với \(y=x+5\) thì \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(8-y\right)^2}\) \(=\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(x+3\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(3-x\right)^2}=\left(\left|x+3\right|+\left|3-x\right|\right)\sqrt{2}\) nên giả thiết của bài toán tương đương với \(\left|x+3\right|+\left|x-3\right|=6\Leftrightarrow-3\le x\le3\). Bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\left(x+5\right)^2\) với \(x\in\left[-3;3\right]\), Ta có \(f'\left(x\right)=2x+2\left(x+5\right)\). \(f'\left(x\right)\)triệt tiêu tại \(x=-2,5\in\left[-3;3\right]\). So sánh ba giá trị \(f\left(-3\right),f\left(-2,5\right),f\left(3\right)\) suy ra giá trị nhỏ nhất là \(f\left(-2,5\right)=\dfrac{25}{2}\), giá trị lớn nhất là \(f\left(3\right)=73\). Vì vậy \(M=\sqrt{73},m=\dfrac{5\sqrt{2}}{2},m+M=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}\)
Số phức nào dứoi đây là số thuần ảo? \(z=-2+3i\) \(z=3i\) \(z=-2\) \(z=\sqrt{3}+i\) Hướng dẫn giải: Các số thuần ảo có dạng \(z=bi,\left(b\in\mathbb{R}\right)\). Đáp số: \(z=3i\)
Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm ? như hình bên? \(z_1=1-2i\) \(z_2=1+2i\) \(z_3=-2+i\) \(z_4=2+i\) Hướng dẫn giải: Từ toạ độ của điểm M ta suy ra số phức có phần thực là: -2, phần ảo là 1. Do vậy, số phức đó là: \(-2+i\)
Xét các số phức z thỏa mãn \(\left(\overline{z}+i\right)\left(z+2\right)\) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) \(1\) \(\dfrac{5}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi z = a + bi (a, b \(\in\mathbb{R}\) ) \(\left(\overline{z}+i\right)\left(z+2\right)=\left(a-bi+i\right)\left(a+2+bi\right)=a^2+2a+abi-abi-2bi+b^2+ai+2i-b\) \(=\left(a^2+2a+b^2-b\right)-\left(2b-a-2\right)i\) Do tích trên là số thuần ảo nên \(a^2+2a+b^2-b=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\) Vậy \(R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
