Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Thể tích khối đa diện

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi G, H, K là trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp. Tính thể tích khối chóp S.GHK.
    • \(\dfrac{V}{6}\)
    • \(\dfrac{V}{9}\)
    • \(\dfrac{V}{27}\)
    • \(\dfrac{2V}{27}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Đặt tên các điểm như hình vẽ. Ta thấy \(\Delta ABC\sim\Delta NPM\Rightarrow\dfrac{S_{NMP}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{4}\)
    Vậy nên \(\dfrac{V_{S.GHK}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{V_{S.GHK}}{V_{S.MNP}}.\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}\right).\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{27}\)
    \(\Rightarrow V_{S.GHK}=\dfrac{2V}{27}\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng V. Gọi E là điểm sao cho \(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}.\) Tính thể tích của khối đa diện gồm các điểm chung của khối hộp đó và khối chóp tam giác E.ADD'.
    • \(\dfrac{4V}{27}\)
    • \(\dfrac{V}{2}\)
    • \(\dfrac{19V}{54}\)
    • \(\dfrac{25V}{54}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Ta cần tính thể tích khối đa diện MNB.DD'A
    \(\dfrac{V_{E.MNB}}{V_{EDD'A}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}\)
    Lại có \(\dfrac{V_{EDD'A}}{V}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.S_{DD'A}.EA}{S_{ADD'A'}.AB}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{1}{2}\)
    Vậy nên \(V_{MNB.DD'A}=\dfrac{19V}{54}\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hình chóp tứ giác đỉnh S, có thể tích V, đáy là hình bình hành ABCD. Lấy điểm S' sao cho \(\overrightarrow{SS'}=2\overrightarrow{AB}\). Tính thể tích của khối đa diện gồm các điểm chung của khối chóp đó và khói chóp tứ giác S'.ABCD.
    • \(\dfrac{5V}{9}\)
    • \(\dfrac{V}{3}\)
    • \(\dfrac{4V}{9}\)
    • \(\dfrac{V}{2}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Do \(\overrightarrow{SS'}=2\overrightarrow{AB}\) nên \(\dfrac{SC'}{C'C}=\dfrac{S'C'}{C'D}=2\)
    Tương tự \(\dfrac{SB'}{B'B}=\dfrac{S'B'}{B'A}=2\). Khi đó ta có:
    \(\dfrac{V_{SDB'C'}}{V_{SDBC}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SD}{SD}.\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{2}{3}.1.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\)
    \(\Rightarrow V_{S.DB'B'}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{V}{2}=\dfrac{2V}{9}.\)
    \(\dfrac{V_{SDAB'}}{V_{SDAB}}=\dfrac{SD}{SD}.\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow V_{SDAB'}=\dfrac{V}{3}\)
    Vậy thì \(V_{SDAB'C'}=\dfrac{5V}{9}\)
    Từ đó suy ra \(V_{C'B'ABCD}=\dfrac{4V}{9}\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi S' là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{SS'}=2\overrightarrow{AB}.\) Tính thể tích phần khối chóp S.ABC nằm trong khối chóp S'.ABC.
    • \(\dfrac{V}{2}\)
    • \(\dfrac{V}{3}\)
    • \(\dfrac{V}{4}\)
    • \(\dfrac{V}{6}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Đặt tên các điểm như hình vẽ. Thể tích hình cần tính là \(V_{A'ABC}\)
    Do \(\overrightarrow{SS'}=2\overrightarrow{AB}\) , ta có \(\dfrac{A'B}{A'S}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{BA'}{SB}=\dfrac{1}{3}\)
    Vậy thì \(\dfrac{V_{A'.ABC}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{d\left(A';\left(ABC\right)\right)}{d\left(S;\left(ABC\right)\right)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow V_{A'ABC}=\dfrac{V}{3}\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi S' là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{SS'}=2\overrightarrow{AB}.\) Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là S; S'; A; B; C.
    • \(2V\)
    • \(3V\)
    • \(\dfrac{3V}{2}\)
    • \(\dfrac{4V}{3}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Đặt tên các điểm như hình vẽ. Ta chỉ cần tính thêm thể tích khối chóp \(C.SBS'\)
    Do \(\overrightarrow{SS'}=2\overrightarrow{AB}\) , ta có \(\dfrac{S_{SAB}}{S_{SBS'}}=\dfrac{AB}{SS'}=\dfrac{1}{2}\)
    Vậy thì \(\dfrac{V_{C.SAB}}{V_{C.SBS'}}=\dfrac{S_{SAB}}{S_{SBS'}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow V_{C.SBS'}=2V\)
    Thể tích khối đa diện cần tìm là \(V+2V=3V.\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối chóp tứ giác S.ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng đáy; ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc tại đỉnh A bằng 60o. Khối chóp có thể tích \(V=\dfrac{a^3}{4}\) . Gọi E là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}.\) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD).
    • \(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
    • \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
    • \(\dfrac{3a\sqrt{6}}{4}\)
    • \(a\sqrt{6}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Ta có \(S_{ABCD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=\left(3.\dfrac{a^3}{4}\right):\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
    Ta thấy \(d\left(E;\left(SBD\right)\right)=3d\left(A;\left(SDB\right)\right)\)
    Kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow d\left(A;\left(SBD\right)\right)=AH.\)
    Ta có \(AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), do tam giác SAO vuông tại A nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AO^2}\)
    Vậy \(AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
    Vậy \(d\left(E;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{3a\sqrt{6}}{4}.\)
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối chóp tứ giác S.ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng đáy; ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc tại đỉnh A bằng 60o. Khối chóp có thể tích \(V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}\) . Gọi E là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}.\) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBC).
    • \(a\sqrt{3}\)
    • \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
    • \(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
    • \(a\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    \(S_{ABCD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=\left(3.\dfrac{a\sqrt{3}}{12}\right):\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}\)
    Ta thấy \(d\left(A;\left(SBC\right)\right)=d\left(E;\left(SBC\right)\right)\)
    Kẻ \(AK\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(SAK\right)\)
    Trong mặt phẳng (SAK), kẻ \(AH\perp SK\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)
    Tam giác vuông ABK có \(\widehat{ABK}=60^o;AB=a\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
    Xét tam giác vuông SAK có AH là đường cao nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AK^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
    • \(V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\).
    • \(V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}\).
    • \(V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}\).
    • \(V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}\).
    Hướng dẫn giải:

    Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều:
    01.png
    Đáy là tam giác đều cạnh a nên đáy có diện tích \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Các cạnh khối lăng trụ đều bằng a nên khối lăng trụ có chiều cao \(AA'=a\). Khối lăng trụ có thể tích \(V=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
    • \(V=\dfrac{\sqrt{6}a^3}{18}\).
    • \(V=\sqrt{3}a^3\).
    • \(V=\dfrac{\sqrt{6}a^3}{3}\).
    • \(V=\dfrac{\sqrt{3}a^3}{3}\).
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Từ giả thiết suy ra DA vuông góc với (SAB) và \(\widehat{ASD}=30^0\) ,
    khối chóp S.ABCD có chiều cao \(h=SA=a\cot\widehat{ASD}=a\cot30^0=a\sqrt{3}\) , do đó nó có thể tích
    \(V=\dfrac{1}{3}h.a^2=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}a^2=\dfrac{\sqrt{3}a^3}{3}\).
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \(\dfrac{V'}{V}\).
    • \(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{2}\).
    • \(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{4}\).
    • \(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{2}{3}\).
    • \(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{5}{8}\).
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    V' là tổng các thể tích của bốn khối chóp đỉnh N: N.QRS, N.PQS, N. MPQ, N.MQR.
    Khối chóp N.QRS có diện tích đáy bằng \(\dfrac{1}{4}\) diện tích đáy của khối chóp A.BCD và có đường cao bẳng
    \(\dfrac{1}{2}\) đường cao khối chóp A.BCD (do giả thiết Q,R,S,N là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD), vì vậy khối chóp N.QRS có thể tích bằng \(\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\) thể tích ABCD, tức là \(V_{NQRS}=\dfrac{1}{4}V\). Tương tự,
    \(V_{NMPQ}=\dfrac{1}{8}V\).
    Chú ý rằng hình chóp N.PQS cũng có thể xem là hình chóp đỉnh Q, đáy NPS nên lại theo trên ta có
    \(V_{N.PQS}=V_{Q.NPS}=\dfrac{1}{8}V\). Tương tự, \(V_{N.MQR}=\dfrac{1}{8}V\).
    Vì vậy \(V'=4.\dfrac{1}{8}V=\dfrac{1}{2}V\Rightarrow\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{2}\)