Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm BO, N là trung điểm BB'. Khi đó tỉ số \(\frac{V_{ABMN}}{V_{AMDA'}}\) là: \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{5}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(\frac{sS_{AMB}}{S_{ADM}}=\frac{MB}{MD}=\frac{1}{3}\) \(\frac{NB}{AA'}=\frac{1}{2}\) Vậy nên \(\frac{V_{ABMN}}{V_{AMDA'}}=\frac{S_{AMB}}{S_{ADM}}.\frac{NB}{AA'}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.\)
Cho tứ diện ABCD có \(\left(ABD\right)\perp\left(BCD\right)\). Tính thể tích khối tứ diện biết AB = BC = a; BD = 2a; \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=90^o.\) \(a^3\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{a^3}{12}\) \(\frac{a^3}{4}\) \(a^3\frac{\sqrt{3}}{6}\) Hướng dẫn giải: Kẻ \(AM\perp BD\Rightarrow AM\perp\left(BCD\right)\). Xét tam giác vuông ABD, có \(AD=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}\) Áp dụng hệ thức lượng ta có \(AM=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}a.\) Xét tam giác vuông BCD, có \(CD=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}\) Vậy \(S_{BCD}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\) \(\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a^3}{4}\)
Cho chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C. Biết \(BC=CD=\frac{1}{2}AB;SB\perp\left(ABCD\right).\) Gọi \(O=AC\cap BD.\) Tìm góc tạo bởi SA và (SBD). \(\widehat{SAB}\) \(\widehat{ASO}\) \(\widehat{ASD}\) \(\widehat{BAO}\) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AB, khi đó ta có BM = CD = \(\frac{AB}{2}\). Lại có BM // CD nên BMDC là hình bình hành. Vậy MD = BC = BM = MA. Theo định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông (đảo) ta có : Do BM = MA = MD nên tam giác ADB vuông tại D. Vậy \(AD\perp BD\left(1\right).\) Lại có do \(SB\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SB\perp AD\left(2\right).\) Từ (1) và (2) ta có \(AD\perp\left(SBD\right)\) hay góc tạo bởi SA và (SBD) là \(\widehat{ASD}.\)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng \(\sqrt{2}a\). Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\dfrac{4}{3}a^3\). Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD). \(h=\frac{2}{3}a\) \(h=\frac{4}{3}a\) \(h=\frac{8}{3}a\) \(h=\frac{3}{4}a\) Hướng dẫn giải: Diện tích hình vuông ABCD bằng \(\sqrt{2}a.\sqrt{2}a=2a^2\) Trong mf (SAD) kẻ SE vuông góc với AD thì E cũng là trung điểm của AD. Vì mf(SAD) vuông góc với (ABCD) nên SE là đường cao của chóp tứ giác S.ABCD. Ta có \(SE=\frac{3.V_{S.ABCD}}{dt\left(ABCD\right)}=\frac{3.\frac{4}{3}a^3}{2a^2}=2a\) => \(SD=\sqrt{SE^2+ED^2}=\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}a\) Vì AB // DC => AB // mf(SDC) => k/c từ A xuống mf(SDC) = k/c từ B xuống mf(SDC). Trong mf(SAD) kẻ AF vuông góc với SD thì AF chính là khoảng cách từ A xuống mf(SDC) vì: \(AF\perp AD\) \(AF\perp DC\) (vì mf(SAD) \(\perp\) mf(ABCD)) Trong tam giác cân SAD có AF là đường cao, ta có: \(SD.AF=AD.SE\) (vì = 2 dt(SAD)) => \(AF=\frac{AD.SE}{SD}=\frac{\sqrt{2}a.2a}{\frac{3\sqrt{2}a}{2}}=\frac{4}{3}a\) Vậy khoảng cách từ B xuống mf(SDC) bằng \(\frac{4}{3}a\).
Cho chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh x. Mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. \(\widehat{SAD}=30^o\). \(\frac{\sqrt{11}}{11}x.\) \(\frac{\sqrt{13}}{13}x.\) \(\frac{\sqrt{15}}{15}x.\) \(\frac{\sqrt{17}}{17}x.\) Tính khoảng cách từ D đến (SBC). Hướng dẫn giải: Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khi đó \(ME\perp\left(SAD\right)\Rightarrow ME\perp SM.\) Lại có do tam giác SAD cân tại S nên SM là trung tuyến đồng thời đường cao, hay \(SM\perp AD\). Từ đó suy ra \(SM\perp\left(ABCD\right).\) \(SM=AM.tan30^o=\frac{x}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x\sqrt{3}}{6}\) Vậy \(V_{SDBC}=\frac{1}{3}.S_{DBC}.SM=\frac{1}{3}.\frac{x^2}{2}.\frac{x\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{36}x^3.\) Do \(SM\perp BC;ME\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(SME\right)\Rightarrow BC\perp SE.\) \(SE=\sqrt{SM^2+ME^2}=\sqrt{\frac{x^2}{12}+x^2}=\frac{\sqrt{39}}{6}x.\) \(S_{SBD}=\frac{1}{2}.BC.SE=\frac{1}{2}x.\frac{x\sqrt{39}}{6}=\frac{\sqrt{39}}{12}x^2.\) Vậy \(d\left(D;\left(SBC\right)\right)=\frac{3.V_{SDBC}}{S_{SBC}}=\left(3.\frac{\sqrt{3}}{36}x^3\right):\frac{\sqrt{39}}{12}x^2=\frac{\sqrt{13}}{13}x.\)
Tổng diện tích các mặt của một khối lập phương là 150 cm2. Tính thể tích của khối đó. 25 $cm^3$ 75 $cm^3$ 125 $cm^3$ 100 $cm^3$ Hướng dẫn giải: Mỗi lập phương có 6 mặt, vậy diện tích mỗi mặt của hình lập phương là: $150 : 6 = 25$ ($cm^2$) Suy ra độ dài cạnh của hình lập phương là 5 cm. Vậy thể tích hình lập phương đó là: $5^3 = 125$ ($cm^3$)
Đáy của một khối hộp đứng là một hình thoi cạnh a, góc nhọn 60o. Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của khối hộp. Tính thể tích của khối hộp đó. \(\frac{3a^3}{2}\) \(\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{a^3\sqrt{6}}{2}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có A'B'C'D' là hình thoi cạnh a, góc nhọn 60o, B'D' = a; BD' = A'C'. Xét tam giác A'D'C' cân, có A'D' = D'C' = A, \(\widehat{A'D'C'}=60^o\Rightarrow A'C'=\sqrt{a^2+a^2-2.a.a.cos120^o}=a\sqrt{3}\) Suy ra \(BD'=a\sqrt{3}\) Do ABCD.A'B'C'D' là khối hộp đứng nên \(BB'\perp\left(A'B'C'D'\right)\Rightarrow BB'\perp B'D'.\) Xét tam giác vuông BB'D' có B'D' = a; \(D'B=a\sqrt{3}\Rightarrow BB'=a\sqrt{2}\) Vậy \(V_{hộp}=S_{A'B'C'D}.BB'=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}\)
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 6 cm, 8 cm và 10 cm, cạnh bên 14 cm và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $30^o$. Tính thể tích của khối đó. 112 $cm^3$ 168 $cm^3$ \(56\sqrt{3}\) $cm^3$ \(112\sqrt{3}\) $cm^3$ Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Do độ dài các cạnh đáy thỏa mãn định lý Pi -ta-go đảo nên đáy khối lăng trụ trên là tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ C' xuống (ABC). Xét tam giác vuông C'HC có CC' = 14 cm, \(\widehat{C'CH}=30^o\Rightarrow C'H=sin30^o.CC'=7cm.\) Vậy thể tích lăng trụ tam giác trên là: \(V_{trụ}=S_{ABC}.C'H=\frac{1}{2}.6.8.7=168cm^3\)
Một khối lăng trụ tứ giác có đáy là hình thoi cạnh a, góc nhọn bằng 45o. Lăng trụ có cạnh bên 2a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45o. Tính thể tích của khối đó. \(\frac{1}{3}a^3\) \(a^3\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\) \(2a^3\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống (A'B'C'D'). Xét tam giác vuông CHC', có CC' = 2a; \(\widehat{CC'H}=45^o\Rightarrow CH=a\sqrt{2}\) \(S_{ABCD}=a^2.sin45^o=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\) Vậy \(V_{ABCD.A'B'C'D'}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}=a^3\)
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích khối tứ diện EBCD. \(\frac{V}{3}\) \(\frac{V}{4}\) \(\frac{V}{2}\) \(\frac{V}{5}\) Hướng dẫn giải: Ta có : \(\frac{V_{EBCD}}{V_{ABCD}}=\frac{EB}{AB}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{EBCD}=\frac{V}{4}\)
