Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC song song với BC, cắt AB tại D, cắt AC tại E. Mặt phẳng đi qua A', D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của chúng. \(\frac{2}{3}\) \(\frac{4}{23}\) \(\frac{4}{9}\) \(\frac{4}{27}\) Hướng dẫn giải: Ta có do DE đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC nên \(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\). Từ đó suy ra \(\frac{V_{A'.ADE}}{V_{A'B'C'.ABC}}=\frac{\frac{1}{3}.S_{ADE}.d\left(C';\left(ABC\right)\right)}{S_{ABC}.d\left(C';\left(ABC\right)\right)}=\frac{1}{3}.\frac{4}{9}=\frac{4}{27}\). Vậy thì \(\frac{V_{A'.ADE}}{V_{BDEC.ABC}}=\frac{4}{23}\).
Mặt phẳng đi qua các đỉnh A, B của khối hộp ABCD.A'B'C'D' và đi qua trung điểm E của cạnh A'D' chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của chúng. \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{3}\) Hướng dẫn giải: Kẻ EF // A'B' , khi đó F là trung điểm B'C'. Vậy thì \(\frac{V_{AA'E.BB'F}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{S_{BB'F}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{V_{AA'E.BB'F}}{V_{ADD'E.BCC'F}}=\frac{1}{3}\)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng V. Tính thể tích của khối tứ diện có đỉnh là C và các trung điểm của các cạnh AB, B'C', C'D'. \(\frac{V}{12}\) \(\frac{V}{6}\) \(\frac{V}{24}\) \(\frac{V}{8}\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, B'C', C'D'. Vì \(\Delta NPC'\sim\Delta B'D'C'\) theo tỉ số 0,5 nên \(\frac{S_{NPC'}}{S_{A'D'C'}}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{S_{NPC'}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}.\) Khi đó ta có \(\frac{V_{M.NPC'}}{V_{ABCD.A'B'C'D}}=\frac{\frac{1}{3}.S_{NPC'}.h}{S_{A'B'C'D'}.h}=\frac{1}{3}.\frac{S_{NPC'}}{S_{A'B'C'D}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{8}=\frac{1}{24}\) \(\Rightarrow V_{MNPC'}=\frac{V}{24}\)
Xét khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng hai lần chiều cao tam giác đáy. Tính thể tích khối chóp. \(\frac{\sqrt{3}a^3}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}a^3}{6}\) \(\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\) \(\frac{\sqrt{2}a^3}{4}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABC), AK là đường cao tam giác ABC. Do tam giác ABC đều nên \(AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), \(S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) Vậy thì \(AS=a\sqrt{3};AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), suy ra \(SH=\frac{2\sqrt{6}a}{3}\) Thể tích khối chóp SABC là: \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{2\sqrt{6}a}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}a^3\)
Xét khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60o. Tính thể tích khối chóp. \(\frac{a^3}{\sqrt{6}}\) \(\frac{a^3}{\sqrt{3}}\) \(\frac{a^3}{6}\) \(\frac{a^3}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. O là tâm đáy ABCD (ABCD là hình vuông) Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OC=\frac{a}{\sqrt{2}}\) Xét tam giác vuông SOC có \(OC=\frac{a}{\sqrt{2}}\); \(\widehat{SCO}=60^o\Rightarrow SO=OC.tan60^o=\frac{a}{\sqrt{2}}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) Vậy \(V_{SABCD}=\frac{1}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3}{\sqrt{6}}\)
Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^o$. \(\frac{a^3}{6}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{a^3}{3}\) \(a^3\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. O là tâm đáy ABCD (ABCD là hình vuông), M là trung điểm CD. Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OM=\frac{a}{2}\) Lại có \(\widehat{SMO}=45^o\Rightarrow SO=OM=\frac{a}{2}\) Vậy thì \(V_{SABCD}=\frac{1}{3}.a^2.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}\)
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\) \(\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\) \(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. O là tâm đáy ABCD (ABCD là hình vuông) Do SC = a, \(\widehat{SCO}=60^o\Rightarrow\begin{cases}SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\OC=\frac{a}{2}\end{cases}\) Do \(OC=\frac{a}{2}\Rightarrow DC=\frac{a}{\sqrt{2}}\) Vậy thì \(V_{SABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích V và P là một điểm trên đường thẳng AA'. Tính thể tích khối chóp tứ giác P.BCC'B'. \(\frac{V}{2}\) \(\frac{V}{3}\) \(\frac{2V}{3}\) \(\frac{V}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(V_{A.BCC'B'}=V_{P.BCC'B'}\) Lại có \(V_{AB'C'A'}=\frac{1}{3}V_{ABC.A'B'C'}\Rightarrow V_{P.BCC'B'}=V_{A.BCC'B'}=\frac{2}{3}V_{ABC.A'B'C'}=\frac{2V}{3}\)
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' và điểm P thuộc cạnh AA', điểm Q thuộc cạnh BB', điểm R thuộc cạnh CC' sao cho \(\frac{PA}{PA'}=\frac{QB'}{QB}.\) Thể tích khối lăng trụ đó bằng V, hãy tính thể tích khối chóp tứ giác R.ABQP. \(\frac{V}{2}\) \(\frac{V}{3}\) \(\frac{2V}{3}\) \(\frac{3V}{4}\) Hướng dẫn giải: Do ABB'A' là hình bình hành, có \(\frac{PA}{PA'}=\frac{QB'}{QB}\) nên \(S_{ABQP}=S_{QPA'B'}=\frac{S_{ABB'A'}}{2}\) Vậy thì \(\frac{V_{R.ABQP}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{V_{C'.ABQP}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{1}{2}.\frac{V_{C'.ABB'Q'}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) Suy ra \(V_{R.ABQP}=\frac{V}{3}\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Xét khối chóp tứ giác đỉnh A, đáy là tứ giác có đỉnh là các tâm của các mặt của khối đó song song với AA' hay chứa AA'. Tính thể tích khối chóp đó. \(\frac{1}{3}a^3\) \(\frac{1}{4}a^3\) \(\frac{1}{6}a^3\) \(\frac{1}{12}a^3\) Hướng dẫn giải: Gọi tâm các mặt của khối lập phương là M, N, P, Q như trên hình vẽ. Ta thấy ngay (MNPQ) // (ABCD). Khi đó ta thấy rằng \(S_{MNPQ}=\frac{a^2}{2}\) Hơn nữa \(d\left(A';\left(MNP\right)\right)=\frac{a}{2}\) Vậy thì \(V_{A'.MNP}=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{12}\)
