Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC'D'. \(\frac{a^3}{4}\) \(\frac{a^3}{3}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\) Hướng dẫn giải: Nối BD'. Ta thấy \(V_{D.ABC'D'}=V_{DABD'}+V_{DBD'C'}=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a+\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a=\frac{a^3}{3}\)
Diện tích toàn phần của một khối hộp chữ nhật là S, đáy của nó là hình vuông cạnh a. Tính thể tích khối hộp đó. \(\frac{a\left(S-2a^2\right)}{4}\) \(\left(\frac{aS}{4}\right)-a^3\) \(\left(\frac{aS}{4}\right)-2a^3\) \(\frac{a\left(S-2a^2\right)}{2}\) Hướng dẫn giải: Diện tích hai mặt đáy của khối hộp là 2a2, vậy diện tích xung quanh khối hộp là S - 2a2 Gọi x là chiều cao của khối hộp, ta có \(x=\frac{S_{ADD'A'}}{a}=\frac{S-2a^2}{4a}\) Từ đó suy ra thể tích khối hộp là: \(a^2.\frac{S-2a^2}{4a}=\frac{a\left(S-2a^2\right)}{4}\)
Một khối chóp tam giác có ba góc phẳng vuông tại đỉnh, có thể tích V và hai cạnh bên bằng a, b. Tính cạnh bên thứ ba của khối đó. \(\frac{3V}{ab}\) \(\frac{4V}{ab}\) \(\frac{5V}{ab}\) \(\frac{6V}{ab}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Khi đó ta có \(S_{OBC}=\frac{ab}{2}\) Suy ra \(OA=\frac{3V}{\frac{ab}{2}}=\frac{6V}{ab}\)
Khối chóp tam giác S.ABC có SA = AB = c, AC = b, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(\widehat{BAC}=30^o.\) Tính thể tích khối đó. \(\frac{bc^2\sqrt{3}}{12}\) \(\frac{bc^2\sqrt{3}}{6}\) \(\frac{bc^2}{6}\) \(\frac{bc^2}{12}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA=\frac{1}{2}cb.sin30^o=\frac{cb}{4}\) Vậy thể tích khối chóp là \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.\frac{cb}{4}.c=\frac{bc^2}{12}\)
Xét khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Mặt phẳng đi qua C' và các trung điểm của AA', BB' chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng. \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(1\) \(\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm BB', AA'. Khi đó ta thấy ngay \(S_{MNA'B'}=\frac{S_{ABB'A'}}{2}\) Vậy thì \(\frac{V_{C'MNA'B'}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{1}{2}.\frac{V_{C'ABB'A'}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) Suy ra \(\frac{V_{C'.MNA'B'}}{V_{ABC.MNC'}}=\frac{1}{2}\)
Khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V. Tính thể tích khối chóp A.BB'D'D. \(\frac{2V}{5}\) \(\frac{V}{3}\) \(\frac{3V}{8}\) \(\frac{V}{6}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy ngay \(\frac{V_{A.BDD'B'}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{2}{3}.\frac{V_{ABD.A'B'D'}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\) Vậy nên \(V_{A.BDD'B'}=\frac{V}{3}\)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V. Gọi E là trung điểm của A'B', F là trung điểm của B'C'. Tính thể tích khối tứ diện BD'EF. \(\frac{V}{6}\) \(\frac{V}{8}\) \(\frac{V}{10}\) \(\frac{V}{5}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(S_{A'D'E}=S_{D'C'F}=\frac{S_{A'B'C'D'}}{4};S_{B'EF}=\frac{S_{A'B'C'D'}}{8}\) \(\Rightarrow S_{EFD'}=\left(1-\frac{2.1}{4}-\frac{1}{8}\right)S_{A'B'C'D'}=\frac{3S_{A'B'C'D'}}{8}\) Vậy thì \(\frac{V_{BD'EF}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{3}{8}.\frac{V_{B.A'B'C'D'}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{3}{8}.\frac{1}{3}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow V_{BD'EF}=\frac{V}{8}\)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích là V. Mặt phẳng qua đỉnh A, qua trung điểm của các cạnh B'C' và C'D' cắt đường thẳng A'B' tại E, cắt đường thẳng A'D' tại F. Tính thể tích khối chóp A.A'EF. \(\frac{V}{3}\) \(\frac{2V}{3}\) \(\frac{3V}{4}\) \(\frac{3V}{8}\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'. Kéo dài MN, cắt A'B' tại E, cắt A'D' tại F. Tách phẳng mặt phẳng đáy, ta có hình vẽ : Vì A'B'C'D' là hình bình hành, M, N là trung điểm B'C', C'D' nên \(S_{MNC}=S_{B'ME}=S_{D'FN}=\frac{S_{A'B'C'D'}}{8}\) \(\Rightarrow\frac{S_{A'EF}}{S_{A'B'C'D'}}=\frac{9}{8}\) Từ đó suy ra \(\frac{V_{A.A'EF}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{9}{8}.\frac{V_{A.A'B'C'D'}}{V_{ABCD.A'B'C'D}}=\frac{9}{8}.\frac{1}{3}=\frac{3}{8}\) \(\Rightarrow S_{A.A'EF}=\frac{3V}{8}\)
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Điểm P thuộc đoạn BB' sao cho mặt phẳng đi qua A, P, song song với BC chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số \(\frac{PB}{PB'}.\) 3 2 6 4 Hướng dẫn giải: Kẻ PQ // BC, Q thuộc CC'. Giả sử \(\frac{PB}{BB'}=x\Rightarrow\frac{PB}{PB'}=\frac{x}{x+1}\Rightarrow\frac{S_{BCQP}}{S_{BCC'B'}}=\frac{x}{x+1}\) Vậy thì \(\frac{V_{P.ABC}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{2}{3}.\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3x+3}\) Do hai phần có thể tích bằng nhau nên \(\frac{2x}{3x+3}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=3.\)
Xét khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng đi qua đỉnh D, điểm Q thuộc cạnh AA', điểm R thuộc cạnh CC' sao cho \(\frac{QA}{QA'}=\frac{1}{3};\frac{RC}{RC'}=3\) chia khối lập phương thành hai phần, tỉnh tỉ số thể tích giữa chúng. \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{3}\) 1 Hướng dẫn giải: Vì \(\frac{QA}{QA'}=\frac{1}{3};\frac{RC}{RC'}=3\) nên QR đi qua tâm của khối hộp nên hai phần tạo được có thể tích bằng nhau. Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần được tạo thành là 1.
