Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Xét điểm P thuộc đoạn BB' sao cho \(\frac{PB}{BB'}=\frac{1}{2},\) điểm Q thuộc đoạn CC' sao cho \(\frac{QC}{QC'}=\frac{1}{4}.\) Tính thể tích của khối chóp tứ giác A.BCQP. \(\frac{3V}{8}\) \(\frac{V}{5}\) \(\frac{V}{6}\) \(\frac{V}{4}\) Hướng dẫn giải: Nối BQ. Ta thấy \(\frac{S_{BCQP}}{S_{BCC'B'}}=\frac{S_{BCQ}+S_{BQP}}{S_{BCC'B'}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\) Vậy thì \(\frac{V_{A.BCQP}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\frac{2}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{A.BCQP}=\frac{V}{4}\)
Cho khối hộp H có thể tích là V. Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của H và có ít nhất một cạnh là cạnh của H (do đó có một mặt nào đó của khối tứ diện phải nằm trong một mặt của khối hộp). Chọn câu đúng: Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng \(\frac{V}{3}.\) Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng \(\frac{V}{6}.\) Có khối tứ diện có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , có khối tứ diện có thể tích bằng \(\frac{V}{6}\) Không có khối tứ diện nào có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , cũng không có khối tứ diện có thể tích bằng \(\frac{V}{6}.\) Hướng dẫn giải: TH1: 3 đỉnh của tứ diện thuộc một mặt của khối hộp. Khi đó các khối hộp có thể tích bằng nhau và bằng \(\frac{V}{6}.\) TH2: 2 đỉnh thuộc mặt này, hai đỉnh thuộc mặt kia. Ta thấy các khối tứ diện cũng có thể tích bằng nhau và bằng \(\frac{V}{6}.\)
Cho khối hộp H có thể tích là V. Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của H và nhưng không có cạnh nào là cạnh của H, tức là 6 cạnh của tứ diện là 6 đường chéo của 6 mặt của khối hộp. Chọn câu đúng: Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng \(\frac{V}{3}.\) Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng \(\frac{V}{6}.\) Có khối tứ diện có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , có khối tứ diện có thể tích bằng \(\frac{V}{6}\) Không có khối tứ diện nào có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , cũng không có khối tứ diện có thể tích bằng \(\frac{V}{6}.\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(V_{D.A'C'D'}=V_{A'.ABC}=V_{B.A'B'C'}=V_{C'.CBD}=\frac{V_{ABCD.A'B'C'D'}}{6}=\frac{V}{6}\) Ta thấy các khối tứ diện thỏa mãn điều kiện có thể tích bằng nhau và bằng: \(V_{ABCD.A'B'C'D}-4.V_{D.A'D'C'}=\) \(V\left(1-\frac{4}{6}\right)=\frac{V}{3}.\)
Cho khối hộp H có thể tích là V. Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh của chóp và đỉnh các mặt đáy đều là đỉnh của H. Chọn câu đúng: Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng \(\frac{V}{3}.\) Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng \(\frac{V}{6}.\) Có khối chóp có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , có khối chóp có thể tích bằng \(\frac{V}{6}\) Không có khối chóp nào có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , cũng không có khối chóp có thể tích bằng \(\frac{V}{6}.\) Hướng dẫn giải: Khối chóp là khối chóp tứ giác : Ta thấy các khối chóp thỏa mãn điều kiện có thể tích bằng nhau và bằng \(\frac{V}{3}.\)
Cho khối lăng trụ tam giác H có thể tích V. Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh và các đỉnh của mặt đấy đều là đỉnh của H. Chọn câu đúng: Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng \(\frac{V}{3}.\) Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng \(\frac{2V}{3}.\) Có khối chóp có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , có khối chóp có thể tích bằng \(\frac{2V}{6}\) Không có khối chóp nào có thể tích bằng \(\frac{V}{3}\) , cũng không có khối chóp có thể tích bằng \(\frac{2V}{3}.\) Hướng dẫn giải: Ta thấy các khối chóp tạo thành có thể tích bằng nhau và bằng thể tích khối chóp C'.ABB'A'. Dễ thấy \(V_{C'.ABB'A'}=\frac{2V}{3}\)
Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Xét điểm P thuộc cạnh AB, điểm Q thuộc cạnh BC, điểm R thuộc cạnh BD sao cho \(\frac{PA}{PB}=2;\frac{QB}{QC}=3;\frac{RB}{RD}=4.\) Tính thể tích khối tứ diện BPQR. \(\frac{V}{4}\) \(\frac{V}{5}\) \(\frac{V}{3}\) \(\frac{V}{6}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: \(\frac{V_{BPQR}}{V_{BACD}}=\frac{BP}{BA}.\frac{BQ}{BC}.\frac{BR}{BD}=\frac{1}{3}.\frac{3}{4}.\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow V_{BPQR}=\frac{V}{5}.\)
Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB, đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số \(\frac{SC'}{SC}.\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) \(\frac{4}{5}\) Hướng dẫn giải: Ta có (ABC') giao SD tại D' và D'C' // AB. Đặt \(\frac{SC'}{SC}=x\Rightarrow\frac{SD'}{SD}=x\) Áp dụng tỉ lệ thể tích ta có : \(\frac{V_{SABD'}}{V_{SABD}}=\frac{SD'}{SD}=x;\frac{V_{SD'C'B}}{V_{SDCB}}=\frac{SD'}{SD}.\frac{SC'}{SC}=x^2\) Vậy thì \(\frac{V_{SABC'D'}}{V_{SABCD}}=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}\) Do tỉ lệ thể tích hai phần tạo thành bằng nhau nên \(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Gọi G là trọng tâm của một tứ diện cho trước. Mặt phẳng đi qua G, song song với một mặt của tứ diện chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (số lớn chia số bé) của chúng. \(\frac{3}{2}\) \(\frac{35}{25}\) \(\frac{37}{27}\) \(\frac{4}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. (B'C'D') // (BCD) Ta có trọng tuyến AG'. Khi đó \(\frac{AG}{AG'}=\frac{3}{4}\) Suy ra \(\frac{V_{AB'C'D'}}{V_{ABCD}}=\frac{AB'}{AB}.\frac{AC'}{AC}.\frac{AD'}{AD}=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}\) Vậy thì tỉ số hai phần được tạo thành là \(\frac{37}{27}\).
Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\). Tính thể tích của khối đó. \(\frac{a^3\sqrt{7}}{6}\) \(\frac{a^3\sqrt{7}}{12}\) \(\frac{a^3\sqrt{5}}{12}\) \(\frac{a^3\sqrt{5}}{4}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABC). Do SABC là khối chóp tam giác đều nên H là trọng tâm tam giác ABC. Từ đó suy ra \(HC=\frac{a}{\sqrt{3}}\) Xét tam giác vuông SHC, có SC = \(a\sqrt{2}\), \(HC=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{3}\) \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{15}}{3}=\frac{a^3\sqrt{5}}{12}\)
Cho khối chóp tam giác đều có chiều cao h và cạnh bên bằng 2h. Tính thể tích của khối đó. \(\frac{h^3\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{3h^3\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{9h^3\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{h^3\sqrt{3}}{12}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABC). Do SABC là khối chóp tam giác đều nên H là trọng tâm tam giác ABC. Xét tam giác vuông SHC, SC = 2h, SH = h nên \(HC=h\sqrt{3}\) Từ đó suy ra \(AB=3h\Rightarrow S_{ABC}=\frac{\left(3h\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}h^2\) Vậy \(V_{SABC}=\frac{1}{3}.\frac{9h^2\sqrt{3}}{4}.h=\frac{3h^3\sqrt{3}}{4}\)
