Cho khối chóp tam giác S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SBC là tam giác đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt đáy là \(\alpha.\) Tính thể tích khối chóp đó. \(\frac{1}{16}a^3sin2\alpha\) \(\frac{1}{8}a^3sin2\alpha\) \(\frac{1}{16}a^3cos^2\alpha\) \(\frac{1}{8}a^3cos2\alpha\) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm BC. Do tam giác SBC đều nên \(SM\perp BC\Rightarrow\widehat{\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SMA}=\alpha\) và \(AM\perp BC.\) Tam giác SBC đều nên \(SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Xét tam giác vuông SAM : \(AM=SM.cos\alpha=\frac{acos\alpha\sqrt{3}}{2}\) ; \(AS=SM.sin\alpha=\frac{asin\alpha\sqrt{3}}{2}\) Vậy \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.\frac{a.cos\alpha.\sqrt{3}}{2}.a=\frac{cos\alpha\sqrt{3}}{4}a^2\) Thể tích khối chóp là: \(\frac{1}{3}.\frac{cos\alpha.\sqrt{3}}{4}a^2.\frac{a.sin\alpha\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{16}a^3.sin2\alpha\)
Một khối lăng trụ có đáy là một tam giác đều cạnh a, cạnh bên b, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể tích của khối đó. \(\frac{a^2b\sqrt{3}}{8}\) \(\frac{a^2b}{8}\) \(\frac{3a^2b}{8}\) \(\frac{a^2b}{4}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống (A'B'C'), khi đó \(\widehat{CC'H}=60^o\Rightarrow HC=sin60^o.CC'=\frac{b\sqrt{3}}{2}\) Diện tích đáy là \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{b\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2b}{8}\)
Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh a là các đỉnh của một khối đa diện đều. Tính thể tích khối đó. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\) \(\frac{a^3\sqrt{2}}{24}\) \(\frac{a^3\sqrt{3}}{16}\) Hướng dẫn giải: Khối tứ diện tạo thành là một bát diện đều. Ta có thể tích khối tứ diện đều cạnh a là \(\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\) Khối bát diện tạo thành từ bốn khối tứ diện nhỏ có thể tích bằng nhau và bằng \(\frac{1}{8}\) thể tích của tứ diện SABC. Vậy thể tích khối bát diện tạo thành là : \(4.\frac{1}{8}.\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{a^3\sqrt{2}}{24}\)
Xét khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng đi qua đỉnh A, qua các trung điểm của các cạnh C'B' và C'D' chia khối chóp A.A'B'C'D' thành hai phần. Tính thể số thể tích (số lớn chia số bé) của chúng. 5 3 7 8 Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C'D' và C'B'. Ta thấy \(\frac{V_{A.MNC'}}{V_{A.A'B'C'D'}}=\frac{S_{MNC'}}{S_{A'B'C'D'}}=\frac{1}{8}\) Vậy tỉ số hai phần được tạo thành là 7.
Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng đi qua A, trung điểm F của cạnh SC và song song với BC chia khối chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng. 1 2 \(\frac{3}{5}\) \(\frac{4}{3}\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng qua A, F, song song với BC chính là (ADFE). Khi đó E là trung điểm SB. Ta có \(\frac{V_{S.DAF}}{V_{S.DAC}}=\frac{1}{2};\frac{V_{S.FEA}}{V_{S.CBA}}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{V_{S.FEAD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\) Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần là \(\frac{3}{5}\)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng đi qua A và trung điểm của các cạnh BB', DD' chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa chúng. 2 1 \(\frac{3}{2}\) \(\frac{4}{3}\) Hướng dẫn giải: Dễ thấy mp (AMN) đi qua C. Vậy thì nó đi qua tâm của khối hộp. Từ đó suy ra hai phần được tạo thành có thể tích bằng nhau hay tỉ số thể tích là 1.
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' và điểm E thuộc cạnh BB' sao cho \(BE=\frac{BB'}{4},\) điểm F thuộc cạnh DD' sao cho \(DF=\frac{3DD'}{4}.\) Mặt phẳng đi qua A, E, F chia khối hộp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng. 2 1 \(\frac{3}{2}\) \(\frac{4}{3}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta thấy ngay (AEF) đi qua tâm của khối hộp. Vậy thì tỉ số thể tích giữa hai phần là 1.
Một nhà kho dạng khối hộp chữ nhật đứng ABCD.A'B'C'D', nền là hình chữ nhật ABCD, AB = 3 m, BC = 6 M, chiều cao AA' = 3 m, chắp thêm một khối lăng trụ tam giác đều mà mặt bên là A'B'C'D' và A'B' là một cạnh đáy của lăng trụ. Tính thể tích nhà kho. \(\frac{27\sqrt{3}}{2}m^3\) \(\frac{27}{2}\left(4+\sqrt{3}\right)m^3\) \(54m^3\) \(\frac{9}{2}\left(12+\sqrt{3}\right)m^3\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Thể tích khối hộp chữ nhật là: 3.6.3 = 54 m3 Diện tích tam giác A'B'H là \(\frac{9\sqrt{3}}{4}m^2\) Vậy thể tích khối lăng trụ tam giác là: \(\frac{9\sqrt{3}}{4}.6=\frac{27\sqrt{3}}{2}m^3\) Vậy tổng thể tích nhà kho là : \(54+\frac{27\sqrt{3}}{2}=\frac{27}{2}\left(4+\sqrt{3}\right)m^3\)
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của hình chóp. \(h=\frac{\sqrt{3}a}{6}\) \(h=\frac{\sqrt{3}a}{2}\) \(h=\frac{\sqrt{3}a}{3}\) \(h=\sqrt{3}a\) Hướng dẫn giải: Tam giác đều canh 2a nên chiều cao tam giác đều là \(\sqrt{3}a\) và diện tích tam giác đều là: \(\frac{2a.\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}a^2\). Theo công thức tính thể tích khối chóp thì: \(V=\frac{1}{3}S_{đáy}.h\) \(\Rightarrow h=\frac{3V}{S_{đáy}}=\frac{3.a^3}{\sqrt{3}a^2}=\sqrt{3}a\)
Cho tứ diện ABCD có thể tích băng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp A.GBC. \(V=3\) \(V=4\) \(V=6\) \(V=5\) Hướng dẫn giải: G là trọng tâm của tam giác BCD nên diện tích các tam giác GBC , GCD, GDB bằng nhau và bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích tam giác BCD. (Để chứng minh thì từ G và D hạ các đường cao xuống BC , các đường cao này tỉ lệ với GM/DM = 1/3) Khối chóp A.GBC và A.BCD có cùng đường cao hạ từ A, nhưng diện tích đáy GBC bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích BCD nên thể tích của A.GBC bằng \(\frac{1}{3}\) thể tích A.BCD. Vậy \(V=\frac{1}{3}.12=4\)
