Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(AC=2\sqrt{2}\). Biết AC' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc \(60^0\) và AC'=4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB'C'. \(V=\frac{8}{3}\) \(V=\frac{16}{3}\) \(V=\frac{8\sqrt{3}}{3}\) \(V=\frac{16\sqrt{3}}{3}\) Hướng dẫn giải: Hạ đường cao CH thì \(CH=AC'.\sin60^0=4.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\). Thể tích lăng trụ tam giác bằng \(\frac{1}{2}\left(2\sqrt{2}\right)^2.2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\) Thể tích tứ diện A.A'B'C' bằng 1/3 thể tích lăng trụ và bằng \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Thể tích ABCB'C' bằng thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' trừ đi thể tích tứ diện A.A'B'C' và bằng: \(V=8\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)
Cho khối hộp đứng ABCD.A'B'C'D', trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = a, BD = a\(\sqrt{3}\) và cạnh AA' = \(a\sqrt{2}.\) Tính thể tích khối hộp đó. \(\dfrac{a^3\sqrt{6}}{2}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}\) \(a^3\sqrt{6}\) \(2a^3\sqrt{6}\) Hướng dẫn giải: Diện tích mặt đáy là: \(\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\) Vậy thể tích khối hộp là: \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{a^2\sqrt{6}}{2}.\)
Xét khối hộp đứng ABCD.A'B'C'D' , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = a, BD = \(a\sqrt{3}\) và có đường chéo của hình hộp A'C = \(a\sqrt{3}\) . Tỉnh thể tích khối hộp đó. \(\dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{6}}{2}\) \(a^3\sqrt{6}\) \(2a^3\sqrt{6}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy tam giác AA'C vuông tại A nên \(AA'=\sqrt{A'C^2-AC^2}=\sqrt{3a-a^2}=a\sqrt{2}\) Vậy thể tích của khối hộp trên là: \(\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.a\sqrt{2}=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{2}\)
Xét khối hộp đứng ABCD.A'B'C'D', trong đó ABCD là hình thoi cạnh a, góc \(\widehat{BAD}=30^o\) và AA' = 2a. Tính thể tích khối hộp. \(\dfrac{a^3}{2}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{4}\) \(a^3\) Hướng dẫn giải: Diện tích mặt đáy của hình thoi là: \(2.\dfrac{1}{2}a^2sin30^o=\dfrac{a^2}{2}\) Thể tích khối hộp là: \(\dfrac{a^2}{2}.2a=a^3\)
Xét khối hộp ABCD.A'B'C'D' , trong đó ABCD là hình thoi có các đường chéo bằng a và 2a; cạnh bên AA' = 2a và tạo với mặt phẳng đáy góc bằng \(30^o.\) Tính thể tích khối hộp. \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(a^3\) \(\dfrac{4a^3}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi AH là đường cao của hình hộp. Khi đó, do tam giác AHA' vuông tại H nên \(AH=sin30^o.AA'=\dfrac{1}{2}.2a=a\) Diện tích đáy là: \(\dfrac{1}{2}.a.2a=a^2\) Vậy thể tích hình hộp là: \(a^2.a=a^3\)
Xét khối chóp tứ giác S.ABCD, trong đó SABC là tứ diện đều cạnh a và ABCD là hình thoi. Tính thể tích khối chóp đó. \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\) Hướng dẫn giải: Gọi SH là đường cao của khối chóp. Khi đó SH cũng là đường cao của tứ diện đều S.ABD và bằng: \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) Diện tích mặt đáy là: \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\) Vậy thể tích khối chóp là: \(\dfrac{1}{3}\dfrac{a^2\sqrt{3}.}{2}\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}\)
Cho khối chóp đỉnh S, có thể tích bằng V, có đáy là hình vuông ABCD với tâm I. Điểm P thuộc cạnh AB, Q thuộc cạnh AD sao cho \(\widehat{PIQ}=90^o\). Tính thể tích khối chóp tứ giác S.APIQ \(\dfrac{V}{2}\) \(\dfrac{V}{3}\) \(\dfrac{V}{4}\) \(\dfrac{V}{6}\) Hướng dẫn giải: Do ABCD là hình vuông nên AC vuông góc BD; IA = ID; \(\widehat{PAI}=\widehat{QDI}=45^o\) Do \(\widehat{PIQ}=90^o\Rightarrow\widehat{PIQ}=\widehat{AID}\Rightarrow\widehat{PIA}=\widehat{QID}\) (Cùng phụ góc AIQ) Vậy nên ta thấy \(\Delta PIA=\Delta QID\left(g-c-g\right)\Rightarrow S_{APIQ}=S_{PIA}+S_{AIQ}=S_{QID}+S_{AIQ}=S_{AID}=\dfrac{S_{ABCD}}{4}\) \(\Rightarrow S_{APIQ}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}\) Lại thấy hai khối chóp có chung chiều cao. Vậy thể tích của khối chóp tứ giác S.APIQ là \(\dfrac{V}{4}\)
Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng V. Gọi S' là điểm sao cho S là trung điểm của đoạn AS' và B', C' theo thứ tự là trung điểm của AB; AC. Tính thể tích khối chóp tam giác S'.AB'C'. \(V\) \(\dfrac{V}{2}\) \(\dfrac{V}{4}\) \(\dfrac{V}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\dfrac{V_{S'AB'C'}}{V}=\dfrac{S_{AB'C'}.d\left(S';\left(ABC\right)\right)}{S_{ABC}.d\left(S;\left(ABC\right)\right)}=\dfrac{1}{4}.2=\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow V_{S'AB'C'}=\dfrac{V}{2}\)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V, có tâm (đối xứng) I. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của đáy ABCD. Tính thể tích phần khối hộp đó không nằm trong khối chóp tứ giác I.MNPQ. \(\dfrac{5V}{6}\) \(\dfrac{3V}{4}\) \(\dfrac{11V}{12}\) \(\dfrac{7V}{8}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(\dfrac{V_{IMNPQ}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}S_{MNPQ}.d\left(I;\left(ABCD\right)\right)}{S_{ABCD}.d\left(A;\left(ABCD\right)\right)}\) \(=\dfrac{1}{3}.\dfrac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}\) Vậy thể tích phần khối hộp đó không nằm trong khối chóp tứ giác I.MNPQ là \(\dfrac{11V}{12}.\)
Cho khối chóp tứ giác có đỉnh S; đáy là hình thoi ABCD với góc A bằng 60o , cạnh bằng a; hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là tâm (đối xứng) I của hình thoi. Khối chóp có thể tích \(V=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{4}.\) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). \(\dfrac{a}{4}\) \(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) \(\dfrac{a}{3}\) \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) Hướng dẫn giải: Diện tích hình thoi bằng \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\) nên \(SI=3.\dfrac{a^3\sqrt{2}}{4}:\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) Ta có các tam giác SIB và SIA đều vuông tại I nên \(SB=\sqrt{SI^2+IB^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2};SA=\sqrt{SI^2+AI^2}=\dfrac{3a}{2}\) Xét tam giác SAB có nửa chu vi là: \(\dfrac{5+\sqrt{7}}{4}a\) Dùng công thức Hê rông ta tính được diện tích tam giác SAB là: \(\dfrac{3\sqrt{3}}{8}a^2\) \(V_{C.SAB}=\dfrac{V_{SABCD}}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{8}\) \(\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=3.\dfrac{a^3\sqrt{2}}{8}.\dfrac{8}{3\sqrt{3}a^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\)
