Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, AB = a. Thể tích của khối chóp bằng \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}.\) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). \(\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\) \(\dfrac{a}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm hình vuông ABCD. \(S_{ABCD}=a^2\Rightarrow SI=a^3\sqrt{2}:a^2=a\sqrt{2}\) Gọi M là trung điểm AB thì \(SM=\sqrt{\left(a\sqrt{2}\right)^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{3a}{2}\) \(S_{SAB}=\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3a^2}{4}\) Ta có \(V_{SABC}=\dfrac{1}{2}V_{SABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}\) Vậy \(d\left(C;\left(ABCD\right)\right)=3.\dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}:\dfrac{3a^2}{4}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}.\)
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho A' là trung điểm của SA. Mặt phẳng (P) qua các điểm S, B', D' cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AD ở F. Tính thể tích khối chóp S.AEF. \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(a^3\) \(\dfrac{4a^3}{3}\) Hướng dẫn giải: Xét tam giác SAF có A' là trung điểm SA, A'D' // AF nên A'D' là đường trung bình tam giác SAF. Vậy thì D' là trung điểm SF. Lại do D'D// AS nên D là trung điểm AF. Tương tự B là trung điểm AE. Vậy thì \(AE=AF=2a.\) Từ đó \(V_{SAEF}=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{2}.2a.2a\right).2a=\dfrac{4a^3}{3}.\)
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho A' là trung điểm của SA. Mặt phẳng (P) qua các điểm S, B', D' cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AD ở F. Tính thể tích phần khối lập phương nằm trong khối chóp S.AEF. \(\dfrac{5a^3}{6}\) \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{3a^3}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(V_{C.C'B'D'}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2}{2}.a=\dfrac{a^3}{6}\) Vậy thể tích hình lập phương nằm trong khối chóp là: \(a^3-\dfrac{a^3}{6}=\dfrac{5a^3}{6}.\)
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho A' là trung điểm của SA. Mặt phẳng (P) qua các điểm S, B', D' cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AD ở F. Tính thể tích phần khối chóp S.AEF không nằm trong khối lập phương. \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{2}\) \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{3a^3}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy thể tích phần không nằm trong lập phương sẽ bằng thể tích khối chóp SAEF trừ đi thể tích hình lập phương trong khối chóp và bằng: \(\dfrac{4a^3}{3}-\dfrac{5a^3}{6}=\dfrac{a^3}{2}.\)
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho A' là trung điểm của SA. Tính thể tích phần khối chóp S.ABD nằm ngoài khối lập phương. \(\dfrac{a^3}{24}\) \(\dfrac{a^3}{12}\) \(\dfrac{a^3}{48}\) \(\dfrac{a^3}{36}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy ngay thể tích phần khối chóp nằm ngoài hình lập phương chính là thể tích hình chóp S.A'MN, với M, N lần lượt là trung điểm A'D' và A'B'. Ta có \(V_{SA'MN}=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{a^2}{4}\right).a=\dfrac{a^3}{24}\)
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho A' là trung điểm của SA. Tính thể tích phần khối chóp S.ABD nằm trong khối lập phương. \(\dfrac{a^3}{4}\) \(\dfrac{7a^3}{24}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{3a^3}{8}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy ngay thể tích phần khối chóp nằm trong hình lập phương bằng \(V_{S.ABD}-V_{S.A'MN}\) Ta có \(V_{SABD}=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{2}a^2\right).2a=\dfrac{a^3}{3}\) Thể tích phần cần tìm là: \(\dfrac{a^3}{3}-\dfrac{a^3}{24}=\dfrac{7a^3}{24}.\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi O' là điểm đối xứng của tâm O của khối lập phương qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích khối chóp tứ giác O'ABCD. \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{3a^3}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(d\left(O';\left(ABCD\right)\right)=3d\left(O;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{3a}{2}\) Vậy thì \(V_{O'.ABCD}=\dfrac{1}{3}.a^2.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a^3}{2}\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi O' là điểm đối xứng của tâm O của khối lập phương qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích khối chóp tứ giác O'ABCD nằm ngoài khối lập phương. \(\dfrac{a^3}{54}\) \(\dfrac{a^3}{27}\) \(\dfrac{a^3}{18}\) \(\dfrac{a^3}{36}\) Hướng dẫn giải: Phần khối chóp nằm ngoài hình lập phương là một khối chóp tứ giác đỉnh O, ta kí hiệu là hình chóp 1. Tách phẳng (BD'B') : Gọi giao điểm của BO' và B'D' là M, của OO' với B'D là I. Ta thấy OI = IO' mà \(OI=\dfrac{BB'}{2}\Rightarrow IO'=\dfrac{BB'}{2}\) Vì OO'//BB' nên \(\dfrac{BM}{MO'}=2\Rightarrow\dfrac{O'M}{O'B}=\dfrac{1}{3}\) Vậy thì \(\dfrac{V_1}{V_{O'ABCD}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow V_1=\dfrac{a^3}{2.27}=\dfrac{a^3}{54}\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi O' là điểm đối xứng của tâm O của khối lập phương qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích khối chóp tứ giác O'ABCD nằm trong khối lập phương. \(\dfrac{4a^3}{9}\) \(\dfrac{5a^3}{9}\) \(\dfrac{13a^3}{27}\) \(\dfrac{14a^3}{27}\) Hướng dẫn giải: Phần khối chóp nằm trong hình lập phương bằng thể tích khối chóp O'ABCD trừ đi thể tích phần nằm bên ngoài hình lập phương và bằng: \(\dfrac{a^3}{2}-\dfrac{a^3}{54}=\dfrac{13a^3}{27}.\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình vuông ABCD qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD. \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{a^3}{2}\) \(\dfrac{a^3}{3}\) \(\dfrac{3a^3}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}.a^2.2a=\dfrac{2a^3}{3}\)
