Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình vuông ABCD qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích phần khối chóp tứ giác S.ABCD nằm ngoài khối lập phương. \(\dfrac{a^3}{6}\) \(\dfrac{a^3}{12}\) \(\dfrac{a^3}{9}\) \(\dfrac{2a^3}{9}\) Hướng dẫn giải: Gọi thể tích phần khối chóp SABCD nằm ngoài khối lập phương là V1 Ta có \(\dfrac{V_1}{V_{SABCD}}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow V_1=\dfrac{1}{8}.\dfrac{2a^3}{3}=\dfrac{a^3}{12}\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình vuông ABCD qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích phần khối chóp tứ giác S.ABCD nằm trong khối lập phương. \(\dfrac{7a^3}{12}\) \(\dfrac{5a^3}{12}\) \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{5a^3}{9}\) Hướng dẫn giải: Gọi thể tích phần khối chóp SABCD nằm trong khối lập phương bằng \(V_{SABCD}-V_1=\dfrac{2a^3}{3}-\dfrac{a^3}{12}=\dfrac{7a^3}{12}.\)
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình vuông ABCD qua mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính thể tích phần khối lập phương nằm ngoài chóp tứ giác S.ABCD. \(\dfrac{7a^3}{12}\) \(\dfrac{5a^3}{12}\) \(\dfrac{2a^3}{3}\) \(\dfrac{4a^3}{9}\) Hướng dẫn giải: Thể tích phần khối lập phương không thuộc khối chóp SABCD nằm thể tích khối lập phương trừ đi thể tích phần lập phương trong hình chóp và bằng \(a^3-\dfrac{7a^3}{12}=\dfrac{5a^3}{12}\)
Xét khối chóp tam giác đều S.ABC có thể tích \(V=24\sqrt{3}\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 30o. Tính chiều cao của khối chóp. 2 \(\sqrt{3}\) 1 3 Hướng dẫn giải: Gọi độ dài cạnh của tam giác đều ABC là a. Khi đó \(S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) Từ hình vẽ ta thấy \(MH=\dfrac{1}{3}MC=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) \(\Rightarrow SH=MH.tan30^o=\dfrac{a}{6}\) Vậy thì \(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{6}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{72}=24\sqrt{3}\) \(\Rightarrow a=12\Rightarrow SH=12:6=2\)
Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích khối chóp. \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà SAC là tam giác đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp. \(\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Xét khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, chiều cao của khối chóp bằng chiều cao của tam giác đáy. Tính thể tích khối chóp. \(\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}\) \(\dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}\) \(\dfrac{a^3}{8}\) \(\dfrac{a^3}{6}\) Hướng dẫn giải: Chiều cao tam giác ABC bằng \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) Diện tích tam giác ABC bằng \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) Vậy \(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3}{8}\)
Xét khối chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân AB = AC, cạnh bên SA = 3a tạo với mặt đáy góc 30o. Biết thể tích khối chóp bằng a3, tính độ dài cạnh AB. \(a\sqrt{2}\) a 2a \(a\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi SH là đường cao của khối chóp. Ta có \(SH=sin30^o.SA=\dfrac{1}{2}.3a=\dfrac{3a}{2}\) Đặt AB = x, ta có \(S_{ABC}=\dfrac{x^2}{2}\) Vậy thì \(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{x^2}{2}.\dfrac{3a}{2}=a^3\Rightarrow x=2a.\)
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a và có thể tích \(V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}.\) Tìm số dương r sao cho có điểm J nằm bên trong khối chóp, mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và đến mặt đáy đều bằng r. \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\) \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) Hướng dẫn giải: Ta đặt tên các điểm như trên hình vẽ. Kẻ JH \(\perp\)SM. Khi đó ta thấy ngay \(JH\perp\left(SDC\right).\) Xét tam giác SOM ta thấy, để JO = JH thì MJ phải là phân giác của góc M. Theo đề bài ta có \(S_{ABCD}=a^2\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) Vậy thì \(\widehat{SMO}=60^o\Rightarrow\widehat{JMO}=30^o.\) Có tam giác JOM vuông tại O, \(\widehat{JOM}=30^o;OM=\dfrac{a}{2}\Rightarrow r=JO=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
Cho khối chóp tam giác S.ABC. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{8}{19}\) \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng đã cho chia hình chóp thành hai phần : 1 hình chóp có thể tích V1 và hình chóp cụt có thể tích V2. Ta thấy rằng trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 nên ta có : \(\dfrac{V_1}{V_{SABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}\Rightarrow\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{8}{19}.\)
