TÍCH PHÂNI. Khái niệm tích phân 1) Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng giới hạn bới f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) (Tức là F'(x) = f(x)) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức: (cách chứng minh tham khảo trong SGK). \(S=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) (Như vậy, nguyên hàm của hàm số và diện tích giới hạm bởi đồ thị hàm số có liên hệ với nhau!) 2) Định nghĩa tích phân Hiệu F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b]) của hàm số f(x) và được kí hiệu là: \(\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}=F\left(x\right)|^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) Ta có công thức tính diện tích hình thang cong ở trên như sau: \(S=\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) với F(x) là nguyên hàm của f(x) Ví dụ: Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{2}x^2\), trục hoành và 2 đường thằng x = 1 và x =4 (xem hình vẽ) Giải: Diện tích hình thang cong bằng: \(\int_1^4\frac{1}{2}x^2dx=\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{3}x^3+C\right)|^4_1=\frac{1}{6}x^3|^4_1=\frac{1}{6}.4^3-\frac{1}{6}.1^3=\frac{63}{6}\) II. Tính chất của nguyên hàm TC1: \(\int_a^bk.f\left(x\right)\text{dx}=k.\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}\) (với k là hằng số) TC2: \(\int\limits^b_a\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_ag\left(x\right)\text{dx}\) TC3: \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}=\int\limits^c_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_cf\left(x\right)\text{dx}\) III. Các ví dụ Ví dụ 1: Tính \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}\) Giải: \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}=\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{2.\sin^2x}\text{dx}\) \(=\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}\) \(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}+\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left|\sin x\right|\text{dx}\)\(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\sin x\text{dx}+\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left(-\sin x\right)\text{dx}\) (chú ý: trong đoạn \(\left[0;\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=\sin x\), còn trong đoạn \(\left[\pi;2\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=-\sin x\)) \(=\sqrt{2}\left(-\cos x\right)|^{\pi}_0+\sqrt{2}\cos x|^{2\pi}_{\pi}\) \(=\sqrt{2}\left(1+1\right)+\sqrt{2}\left(1+1\right)=4\sqrt{2}\) Ví dụ 2: Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 (3x^2-2x+1)dx$. ĐS: $I=1$ Ví dụ 3:(Tốt nghiệp THPT 2004) Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{x^2-5x+6}$. ĐS: $I=$
Tính tích phân \(I=\int\limits^{\pi}_0\cos^3x.\sin xdx\) \(I=-\frac{1}{4}\pi^4\) \(I=-\pi^4\) \(I=0\) \(I=-\frac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: \(I=\int\limits^{\pi}_0\cos^3x.\sin xdx=-\int\limits^{\pi}_0\cos^3xd\left(\cos x\right)=-\dfrac{1}{4}\cos^4x|^{\pi}_0=-\dfrac{1}{4}\left(\cos^4\pi-\cos^40\right)=0\)
Tĩnh tích phân sau: \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\text{d}x\) \(I=\sqrt{2}\) \(I=0\) \(I=-\sqrt{2}\) \(I=1\) Hướng dẫn giải: \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\text{d}x=-\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\text{d}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\) \(=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\frac{\pi}{4}=0\) Chọn B.
Tính tích phân sau: \(I=\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x\left(x+1\right)}\text{d}x\) \(I=1\) \(I=2\) \(I=\ln2\) \(I=\ln3\) Hướng dẫn giải: \(I=\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x\left(x+1\right)}\text{d}x=\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right]\text{d}x\) \(=\left[\ln x-\ln\left(x+1\right)\right]|^2_{\frac{1}{2}}=\ln\frac{x}{x+1}|^2_{\frac{1}{2}}\) \(=\ln2\) Chọn C.
Tính tích phân \(I=\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1-3x}{\left(x+1\right)^2}\text{d}x\) \(I=\frac{4}{3}-3\ln2\) \(I=3\ln2\) \(I=\frac{4}{3}\) \(I=-\frac{4}{3}+3\ln2\) Hướng dẫn giải: \(I=\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1-3x}{\left(x+1\right)^2}\text{d}x=\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{4-3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\text{d}x\) \(=4\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\text{d}x-3\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x+1}\text{d}x\) \(=4\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)^{-2}\text{d}\left(x+1\right)-3\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x+1}\text{d}\left(x+1\right)\) \(=\left[4.\frac{1}{-2+1}\left(x+1\right)^{-2+1}-3\ln\left(x+1\right)\right]|^2_{\frac{1}{2}}\) \(=\left[-\frac{4}{x+1}-3\ln\left(x+1\right)\right]|^2_{\frac{1}{2}}\) \(=-\frac{4}{3}-3\ln3+\frac{8}{3}+3\ln\frac{3}{2}\) \(=\frac{4}{3}-3\ln2\) Chọn A.
Tính tích phân sau: \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\sin3x.\cos5x\text{d}x\) \(I=\frac{5}{8}\) \(I=0\) \(I=1\) \(I=\frac{1}{8}\) Hướng dẫn giải: \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\sin3x.\cos5x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\left[\sin\left(3x+5x\right)+\sin\left(3x-5x\right)\right]\) \(=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\left[\sin8x-\sin2x\right]\text{d}x\) \(=\frac{1}{2}.\frac{1}{8}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\sin8x\text{d}\left(8x\right)-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\sin2x\text{d}\left(2x\right)\) \(=\left[-\frac{1}{16}\cos8x+\frac{1}{4}\cos2x\right]|^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\) \(=-\frac{1}{16}\cos4\pi+\frac{1}{4}\cos\pi+\frac{1}{16}\cos\left(-4\pi\right)-\frac{1}{4}\cos\left(-\pi\right)\) \(=0\) Chọn B.
Tính tích phân sau: \(I=\int\limits^2_0\left|1-x\right|\text{d}x\) \(I=\frac{1}{2}\) \(I=1\) \(I=\frac{3}{2}\) \(I=2\) Hướng dẫn giải: \(I=\int\limits^2_0\left|1-x\right|\text{d}x=\int\limits^1_0\left|1-x\right|\text{d}x+\int\limits^2_1\left|1-x\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^1_0\left(1-x\right)\text{d}x+\int\limits^2_1\left(x-1\right)\text{d}x\) \(=-\int\limits^1_0\left(1-x\right)\text{d}\left(1-x\right)+\int\limits^2_1\left(x-1\right)\text{d}\left(x-1\right)\) \(=-\frac{1}{2}\left(1-x\right)^2|^1_0+\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2|^2_1\) \(=1\)
Tính tích phân \(I=\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}\text{d}x\) \(I=\frac{\pi}{3}\) \(I=\frac{\pi}{4}\) \(I=\frac{\pi}{6}\) \(I=1\) Hướng dẫn giải: Vì \(0\le x\le1\) nên ta có thể đặt \(x=\sin t\) => \(\text{d}x=\cos t\text{d}t\) Đổi cận: \(x|^1_0\Rightarrow t|^{\frac{\pi}{2}}_0\) \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sqrt{1-\sin^2t}\cos t\text{d}t\) \(=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos t.\cos t\text{d}t\) \(=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2t\text{d}t\) \(=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{1+\cos2t}{2}\text{d}t\) \(=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\text{d}t+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos\left(2t\right)\text{d}\left(2t\right)\) \(=\left[\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin\left(2t\right)\right]|^{\frac{\pi}{2}}_0\) \(=\frac{\pi}{4}\)
Tính tích phân: \(I=\int\limits^1_0\frac{e^x\left(1+x\right)}{1+xe^x}\text{d}x\) \(I=\ln\left(1+e\right)\) \(I=1\) \(I=\ln\left(2+e\right)\) \(I=e\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=1+xe^x\)\(\Rightarrow du=\left(e^x+xe^x\right)\text{d}x=e^x\left(1+x\right)\text{d}x\) Đổi cận: \(x|^1_0\Rightarrow u|^{1+e}_1\) Suy ra: \(I=\int\limits^{1+e}_1\frac{\text{d}u}{u}=\ln u|^{1+e}_1=\ln\left(1+e\right)\)
Tính: \(I=\int\limits^{\frac{a}{2}}_0\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x\) (với a > 0) \(I=\frac{a}{2}\) \(I=\frac{a}{3}\) \(I=\frac{\pi}{3}\) \(I=\frac{\pi}{6}\) Hướng dẫn giải: Do miền lấy tích phân là \(\left[0;\frac{a}{2}\right]\) nên biểu thức dưới dấu tích phân có nghĩa. Đặt \(x=a.\sin t\) (để làm mất căn thức) thì \(dx=a\cos tdt\), \(\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=a\left|\cos t\right|\) Đổi cận: \(x|^{\frac{a}{2}}_0\Rightarrow t|^{\frac{\pi}{6}}_0\) Suy ra \(I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{6}}_0\dfrac{\cos tdt}{\left|\cos t\right|}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{6}}_0\dfrac{\cos t}{\cos t}dt=\int\limits^{\dfrac{\pi}{6}}_0\text{d}t=t|^{\dfrac{\pi}{6}}_0=\dfrac{\pi}{6}\)
