Tính tich phân \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^5xdx\) \(I=\frac{1}{5}\) \(I=\frac{2}{15}\) \(I=\frac{8}{15}\) \(I=\frac{4}{15}\) Hướng dẫn giải:
Tính tích phân \(I=\int\limits^{16}_0\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\) \(I=6\) \(I=12\) \(I=18\) \(I=24\) Hướng dẫn giải:
Tính tích phân \(I=\int\limits^{e^3}_1\frac{dx}{x\sqrt{1+\ln}x}\). \(I=1\) \(I=3\) \(I=2\) \(I=4\) Hướng dẫn giải: Đặt \(\sqrt{1+\ln x}=t\Rightarrow1+\ln x=t^2\Rightarrow\frac{dx}{x}=2tdt\) . Đổi cận \(x=1\Rightarrow t=1\) ; \(x=e^3\Rightarrow t=2\). Từ đó \(I=\int\limits^2_12dt=2\) . Vì vậy chọn C.
Tính tích phân \(A=\int\limits^2_0\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{\left(x+1\right)^3}}\) . \(I=\frac{\pi}{6}\) \(I=\frac{3\pi}{2}\) \(I=\frac{3\pi}{4}\) \(I=\frac{4\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\sqrt{x+1}\) thì \(x+1=t^2\), \(dx=2tdt\). Đổi cận \(x=0\Rightarrow t=1\); \(x=2\Rightarrow t=\sqrt{3}\). Từ đó \(I=\int_0^2\frac{dx}{\sqrt{1+x}+\sqrt{\left(1+x\right)^3}}=2\int_1\sqrt{^{ }3}\frac{tdt}{t+t^3}=2\int_1^{\sqrt{3}}\frac{dt}{1+t^2}\). Lại đặt \(t=\tan u\) thì \(dt=\left(1+\tan^2u\right)du=\left(1+t^2\right)du\) suy ra \(\int_1^{\sqrt{3}}\frac{dt}{1+t^2}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}du=\frac{\pi}{12}\). Do đó \(I=\frac{\pi}{6}\) . Chọn A.
Tính tích phân \(I=\)\(\int\limits^1_0\frac{4x+11}{x^2+5x+6}dx\) . \(I=2\ln\frac{3}{2}\) \(I=4\ln\frac{3}{2}\) \(I=2\ln3+\ln2\) \(I=\ln\dfrac{9}{2}\) Hướng dẫn giải:
Tính tích phân \(K=\int\limits^{\ln5}_0\frac{e^x\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx\) \(K=4-\pi\) \(K=4+\pi\) \(K=2-\pi\) \(K=2+\pi\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\sqrt{e^x-1}\Rightarrow t^2=e^x-1\Rightarrow2tdt=e^xdx\) Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=0;x=\ln5\Rightarrow t=2\). \(K=\int\limits^2_0\dfrac{2t^2}{t^2+4}dt=2\left(\int\limits^2_0dt-4\int\limits^2_0\dfrac{1}{t^2+4}dt\right)=4-8L\) trong đó \(L=\int\limits^2_0\dfrac{1}{t^2+4}dt\). Đặt \(t=2\tan u\Rightarrow dt=2\left(1+\tan^2u\right)du\). Đổi cận: \(t=0\Rightarrow u=0;t=2\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{4}\) nên \(L=2\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{4}du=\dfrac{\pi}{8}\Rightarrow K=4-\pi\)
Tính tích phân \(L=\int\limits^{\pi}_0\frac{\sin xdx}{\sqrt{1-2\alpha\cos x+\alpha^2}}\) trong đó \(\alpha>1\) đã cho. \(L=2\) \(L=\frac{2}{\alpha}\) \(L=2\alpha\) \(L=\frac{\alpha}{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\sqrt{1-2\alpha\cos x+\alpha^2}\) thì \(t^2=1-2\alpha\cos x+\alpha^2\) nên \(2tdt=2\alpha\sin xdx,\sin xdx=\dfrac{1}{\alpha}tdt\). Đổi cận : \(x=0\Rightarrow t=\left|1-\alpha\right|=\alpha>1\) (do giả thiết \(\alpha>1\)); \(x=\pi\Rightarrow t=\left|1+\alpha\right|=1+\alpha\). Do đó \(L=\dfrac{1}{\alpha}\int\limits^{\alpha+1}_{\alpha-1}dt=\dfrac{2}{\alpha}\)
Tính \(I=\)\(\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{xdx}{\sin^2x}\) \(I=\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\pi}{6\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}\) \(I=\frac{\left(3\sqrt{3}+2\right)\pi}{6\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}\) \(I=\frac{\left(3\sqrt{3}-4\right)\pi}{12\sqrt{3}}+\ln\sqrt{\frac{3}{2}}\) \(I=\frac{\left(3\sqrt{3}+\pi\right)\pi}{12\sqrt{3}}+\ln\sqrt{\frac{3}{2}}\) Hướng dẫn giải: \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{xdx}{\sin^2x}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}x\left(-\cot x\right)'dx=-x\cot x|_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}-\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\left(-\cot x\right)\left(x\right)'dx\) \(=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\cot xdx=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{d\left(\sin x\right)}{\sin x}\) \(=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\int\limits^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}_{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\dfrac{dt}{t}\) \(=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\ln\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) \(=\dfrac{\left(3\sqrt{3}-4\right)\pi}{12\sqrt{3}}+\ln\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)
Xét tích phân \(M=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0e^{\sin^2x}.\sin x.\cos^3xdx\) . Đặt \(t=\sin^2t\). Khẳng định nào sau đây đúng? \(M=\frac{1}{2}\int_0^1e^t\left(1-t\right)dt\) \(M=\frac{1}{2}\left[\int\limits_0^1e^tdt+\int\limits_0^1t.e^tdt\right]\) \(M=2\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)dt\) \(M=2\left[\int\limits^1_0e^tdt+\int\limits^1_0t.e^tdt\right]\) Hướng dẫn giải: \(t=\sin^2x\Rightarrow\cos^2x=1-t;dt=2\sin x\cos xdx\)
Tính \(N=\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{\ln\left(\sin x\right)}{\cos^2x}dx\) \(N=\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\frac{3}{4}-\frac{\pi}{6}\) \(N=\frac{1}{\sqrt{3}}\ln\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\) \(N=\frac{\sqrt{3}}{2}\ln\frac{3}{4}+\frac{\pi}{6}\) \(N=\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi}{6}\) Hướng dẫn giải: \(N=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{\ln\left(\sin x\right)}{\cos^2x}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\ln\left(\sin x\right)\left(\tan x\right)'dx=\ln\left(\sin x\right)\left(\tan x\right)|_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{3}}-\int\limits^{ }_{\dfrac{\pi}{6}}dx\)
