Tính \(I=\)\(\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}x^2.\cos xdx\) \(I=\)\(2-2\pi-\frac{\pi^2}{4}\) \(I=\)\(2-2\pi+\frac{\pi^2}{4}\) \(I=\)\(1+2\pi-\frac{\pi^2}{4}\) \(I=\)\(1+2\pi+\frac{\pi^2}{4}\) Hướng dẫn giải: \(\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}x^2.\cos xdx=\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}x^2\left(\sin x\right)'dx=x^2\sin x|^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}-\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}\sin x\left(x^2\right)'dx=-\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2-\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}\sin x.2xdx\) \(=-\dfrac{\pi^2}{4}+\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}2x\left(\cos x\right)'dx=-\dfrac{\pi^2}{4}+2x\cos x|_{\dfrac{\pi}{2}}^{\pi}-\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}\cos x\left(2x\right)'dx\) \(=-\dfrac{\pi^2}{4}-2\pi-\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}2\cos xdx=-\dfrac{\pi^2}{4}-2\pi-2\sin x|_{\dfrac{\pi}{2}}^{\pi}=-\dfrac{\pi^2}{4}-2\pi+2\)
Tính tích phân \(I=\) \(\int\limits^{\pi}_0e^x.\sin xdx\). \(I=\)\(\frac{e^{\pi}-1}{2}\) \(I=\frac{e^{\pi}+1}{2}\) \(I=\frac{e^{\pi}+1}{4}\) \(I=\frac{e^{\pi}-1}{4}\) Hướng dẫn giải: \(\int\limits^{\pi}_0e^x.\sin xdx=\int\limits^{\pi}_0\left(e^x\right)'\sin xdx=e^x\sin x|_0^{\pi}-\int\limits^{\pi}_0e^x\left(\sin x\right)'dx=-\int\limits^{\pi}_0e^x\cos xdx\) \(=\int\limits^{\pi}_0\left(e^x\right)'\left(-\cos x\right)dx=e^x\left(-\cos x\right)|_0^{\pi}-\int\limits^{\pi}_0e^x\left(-\cos x\right)'dx\) \(=e^{\pi}+1-\int\limits^{\pi}_0e^x\sin xdx\) Do đó \(2\int\limits^{\pi}_0e^x\sin xdx=e^{\pi}+1\Rightarrow\int\limits^{\pi}_0e^x\sin xdx=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [1;2], f(1) = 1 và f(2) = 2. Tính \(I=\int\limits^2_1f'\left(x\right)\text{dx}\) ? \(I=1\) \(I=-1\) \(I=3\) \(I=\frac{7}{2}\) Hướng dẫn giải: \(I=\int\limits^2_1f'\left(x\right)\text{dx}\) \(=f\left(2\right)-f\left(1\right)=2-1=1\)
Cho \(\int\limits^4_0f\left(x\right)\text{dx}=16\), tính \(I=\int\limits^2_0f\left(2x\right)\text{dx}\) ? I=32 I=8 I=16 I=4 Hướng dẫn giải: Đổi \(t=2x\) thì dt=2dx và \(x|^2_0\Rightarrow t|^4_0\) \(I=\int\limits^4_0f\left(t\right).\frac{1}{2}\text{dt}=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(t\right)\text{dt}=\frac{1}{2}.16=8\)
Biết \(\int\limits^4_3\frac{\text{d}x}{x^2+x}=a\ln2+b\ln3+c\ln5\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c\). \(S=6\) \(S=2\) \(S=-2\) \(S=0\) Hướng dẫn giải: \(\int\limits^4_3\frac{\text{dx}}{x^2+x}=\int\limits^4_3\frac{1}{x\left(x+1\right)}\text{dx}=\int\limits^4_3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\text{dx}\) \(=\int\limits^4_3\frac{\text{dx}}{x}-\int\limits^4_3\frac{\text{d}\left(x+1\right)}{x+1}=\left[\ln x-\ln\left(x+1\right)\right]|^4_3\) \(=\ln4-\ln5-\ln3+\ln4=2\ln4-\ln3-\ln5=4\ln2-\ln3-\ln5\) Vậy a=4, b=-1, c=-1 và S = a + b + c = 2
Tính tích phân \(I=\int_1^22x\sqrt{x^2-1}dx\) bằng cách đặt \(u=x^2-1\), mệnh đề nào dưới đây đúng? \(I=2\int_0^3\sqrt{u}du\). \(I=\int_1^2\sqrt{u}du\). \(I=\int_0^3\sqrt{u}du\). \(I=\dfrac{1}{2}\int_1^2\sqrt{u}du\). Hướng dẫn giải: Với \(u=x^2-1\) thì \(u'=2x,du=2xdx\) suy ra \(2x\sqrt{x^2-1}dx=\sqrt{u}du\). Đổi cận: Khi \(x=1\) thì \(u=1^2-1=0\). Khi \(x=2\) thì \(u=3\). Do đó \(I=\int_0^3\sqrt{u}du\).
Cho \(\int_0^1\dfrac{dx}{e^x+1}=a+b\ln\dfrac{1+e}{2}\) với a,b là những số hữu tỉ. Tính \(S=a^3+b^3\). \(S=2\). \(S=-2\). \(S=0\). \(S=1\). Hướng dẫn giải: Đặt \(t=e^x+1\) thì \(e^x=t-1\Rightarrow e^xdx=dt\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{e^x}=\dfrac{dt}{t-1}\Rightarrow\dfrac{dx}{e^x+1}=\dfrac{1}{t\left(t-1\right)}dt=\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt\) Đổi cận : \(x=0\Rightarrow t=2;x=1\Rightarrow t=e+1\) . Vì vậy \(\int_0^1\dfrac{dx}{e^x+1}=\int_2^{1+e}\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\ln\dfrac{t-1}{t}|_2^{1+e}=\ln\dfrac{e}{1+e}-\ln\dfrac{1}{2}\) \(=\ln\dfrac{2e}{1+e}=1+\ln\dfrac{2}{1+e}=1-\ln\dfrac{1+e}{2}\). Từ đó \(a=1,b=-1\) nên \(S=0\).
Cho hàm số \(f\left(x\right)\)thỏa mãn điều kiện \(\int_0^1\left(x+1\right)f'\left(x\right)dx=10\) và \(2f\left(1\right)-f\left(0\right)=2\). Tính \(I=\int_0^1f\left(x\right)dx\). -12. 8. 12. -8. Hướng dẫn giải: Đặt \(u=x+1\) thì \(u'=1\). Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có \(\int_0^1\left(x+1\right)f'\left(x\right)dx=\int_0^1u.f'\left(x\right)dx=f\left(x\right).u\left(x\right)|^1_0-\int_0^1f\left(x\right)u'\left(x\right)dx\) \(=f\left(1\right)u\left(1\right)-f\left(0\right)u\left(0\right)-\int_0^1f\left(x\right)dx\) Suy ra \(\int_0^1f\left(x\right)dx=f\left(1\right)u\left(1\right)-f\left(0\right)u\left(0\right)-\int_0^1\left(x+1\right)f'\left(x\right)dx\) (1) Theo giả thiết ta có \(u\left(1\right)=1+1=2,u\left(0\right)=0+1=1\), \(f\left(1\right)u\left(1\right)-f\left(0\right)u\left(0\right)=2f\left(1\right)-f\left(0\right)=2\), \(\int_0^1\left(x+1\right)f'\left(x\right)dx=10\) Thay vào (1) ta được \(\int_0^1f\left(x\right)dx=2-10=-8\).
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=\sqrt{2+2\cos2x},\forall x\in\mathbb{R}\). Tính tích phân \(I=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(x\right)dx\). -6 0 6 -2 Hướng dẫn giải: Ta có \(I=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(x\right)dx=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^0f\left(x\right)dx+\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(x\right)dx\) (1) Đặt \(t=-x\) thì \(x=-t.dx=-dt,f\left(x\right)=f\left(-t\right)\). Đổi cận: Khi \(x=-\dfrac{3\pi}{2}\)thì \(t=\dfrac{3\pi}{2}\), khi \(x=0\) thì \(t=0\) nên \(\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^0f\left(x\right)dx=\int_{\dfrac{3\pi}{2}}^0f\left(-t\right)\left(-dt\right)=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(-t\right)dt\) Mà \(\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(-t\right)dt=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(-x\right)dx\) (tích phân xác định không phụ thuộc kí hiệu biến lấy tích phân) nên \(\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^0f\left(x\right)dx=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(-x\right)dx\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(I=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(x\right)dx+\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}f\left(-x\right)dx=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}\left(f\left(x\right)+f\left(-x\right)\right)dx=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}\sqrt{2+2\cos2x}dx\) \(=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}\sqrt{4\cos^2x}dx=\int_0^{\dfrac{3\pi}{2}}2\left|\cos x\right|dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}2\cos xdx-\int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}}2\cos xdx\) \(=2\sin x|_0^{\dfrac{\pi}{2}}-2\sin x|_{\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}}=2\left(1-0\right)-2\left(-1-1\right)=6\).
Tính tích phân \(I=\int\limits^e_1x.\ln xdx\) \(I=\frac{1}{2}\) \(I=\frac{e^2-2}{2}\) \(I=\frac{e^2+1}{4}\) \(I=\frac{e^2-1}{4}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(\begin{cases}u=\ln x\\v'=x\end{cases}\) => \(\begin{cases}u'=\frac{1}{x}\\v=\frac{1}{2}x^2\end{cases}\) Theo công thức tích phân từng phần ta có: \(I=\int\limits^e_1x.\ln xdx=\ln x.\dfrac{1}{2}x^2|^e_0-\int\limits^e_1\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{2}x^2dx\) \(=\dfrac{1}{2}x^2\ln x|^e_1-\dfrac{1}{2}\int\limits^e_1xdx=\dfrac{1}{2}x^2\ln x|^e_1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}x^2|^e_1\) \(=\frac{1}{2}\left(e^2\right)-\frac{1}{4}\left(e^2-1\right)=\frac{e^2+1}{4}\)
