Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx = 5}\) . Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f(x) + 2\sin x} \right]} dx\) \( I=7\) \(I=3 \) \( I= 5 + \frac{\pi }{2} \) \(I = 5 + \pi \) Hướng dẫn giải: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f(x) + 2\sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f(x)} \right]} dx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {2\sin x} \right]} dx = 5 + 2 = 7\)
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. 4,5(km) 4,0 (km) 2,3(km) 5,3(km) Hướng dẫn giải: Phương trình parabol : \(y= ax^2+bx+c\). Đồ thị hàm số đi qua \(A(1 ;0), B(0 ;0) \). \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + c = 0}\\ {c = 0}\\ {\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 8} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = - 32}\\ {b = 32}\\ {c = 0} \end{array}} \right.} \right.\\ \Rightarrow {\rm{ y = - 32}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ + 32x }}\\ \Rightarrow S = \int\limits_0^{\frac{{45}}{{60}}} {\left( {{\rm{ - 32}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ + 32x}}} \right)} dx = 4,5km \end{array} \)
Tính tích phân \(\int_0^2\dfrac{dx}{x+3}\) \(\dfrac{16}{225}\) \(\log\dfrac{5}{3}\) \(\ln\dfrac{5}{3}\) \(\dfrac{2}{15}\) Hướng dẫn giải: \(\int_0^2\dfrac{dx}{x+3}=\ln\left|2+3\right|-\ln\left|0+3\right|=\ln5-\ln3=\ln\dfrac{5}{3}\)
Biết \(\int_1^2\dfrac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c\) với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c. P = 24 P = 12 P = 18 P = 46 Hướng dẫn giải: Ta có: \(\dfrac{1}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x\left(x+1\right)}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}.\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) Vậy thì \(\int_1^2\dfrac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\int_1^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx=\int_1^2\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx-\int_1^2\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}dx\)\(=\int_1^2x^{-\dfrac{1}{2}}dx-\int_1^2\left(x+1\right)^{-\dfrac{1}{2}}dx\) \(=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)|^2_1=2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\) Vậy a = 32; b = 12 ; c = 2 Vậy thì \(P=a+b+c=32+12+2=46\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f\left(1\right)=0;\int_0^1\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=7\) và \(\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{3}\). Tích phân \(\int_0^1f\left(x\right)dx\) bằng \(\dfrac{7}{5}\) 1 \(\dfrac{7}{4}\) 4 Hướng dẫn giải: \(\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{3}\) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\) Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: \(\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{3}x^3.f\left(x\right)|^1_0-\dfrac{1}{3}\int_0^1x^3f'\left(x\right)dx=-\dfrac{1}{3}\int_0^1x^3f'\left(x\right)dx\) (Vì f(1) = 0) \(\int_0^1x^3f'\left(x\right)dx=-3\int_0^1x^3f'\left(x\right)dx=-1\) Ta cũng có: \(\left\{{}\begin{matrix}\int_0^1\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=7\\\int_0^114x^3f'\left(x\right)dx=-14\\\int_0^149x^6dx=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\int_0^1\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+\int_0^114x^3f'\left(x\right)dx+\int_0^149x^6dx=0\) \(\Leftrightarrow\int_0^1\left[f'\left(x\right)+7x^3\right]^2dx=0\) Mà \(\int_0^1\left[f'\left(x\right)+7x^3\right]^2dx\ge0\) nên đẳng thức xảy ra khi \(f'\left(x\right)+7x^3=0\Leftrightarrow f'\left(x\right)=-7x^3\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{7x^4}{4}+C\) Ta có \(f\left(1\right)=0\Leftrightarrow C=\dfrac{7}{4}\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{7}{4}\left(1-x^4\right)\) \(\Rightarrow\int_0^1f\left(x\right)dx=\dfrac{7}{4}\int_0^1\left(1-x^4\right)dx=\dfrac{7}{4}\left(x-\dfrac{x^5}{5}\right)|^1_0=\dfrac{7}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{7}{5}\)
\(\int_1^2\text{e}^{3x-1}dx\) bằng: \(\dfrac{1}{3}e^5-e^2\) \(\dfrac{1}{3}\left(e^5-e^2\right)\) \(e^5-e^2\) \(\dfrac{1}{3}\left(e^5+e^2\right)\) Hướng dẫn giải: \(\int_1^2\text{e}^{3x-1}dx=\dfrac{1}{3}e^{3x-1}|^2_1=\dfrac{1}{3}\left(e^5-e^2\right)\)
Cho \(\int_{16}^{55}\dfrac{dx}{x\sqrt{x+9}}=a\ln2+b\ln5+c\ln11\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? \(a-b=-c\) \(a-b=-3c\) \(a+b=3c\) \(a+b=c\) Hướng dẫn giải: Đặt \(\sqrt{x+9}=t\left(t>0\right)\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x=55\Rightarrow t=8\\x=16\Rightarrow t=5\end{matrix}\right.\) \(\dfrac{dx}{2\sqrt{x+9}}=dt\) \(\int_{16}^{55}\dfrac{dx}{x\sqrt{x+9}}=\dfrac{1}{3}\int\limits^8_5\dfrac{dt}{t-3}-\dfrac{1}{3}\int\limits^8_5\dfrac{dt}{t+3}=\dfrac{1}{3}\ln\left|t-3\right|-\dfrac{1}{3}\ln\left|t+3\right||^8_5\) \(=\dfrac{1}{3}\ln5-\dfrac{1}{3}\ln11-\dfrac{1}{3}\ln2+\dfrac{1}{3}\ln8=\dfrac{2}{3}\ln2+\dfrac{1}{3}\ln5-\dfrac{1}{3}\ln11\) Vậy \(a-b=-c\)
