Cho parabol (P) : \(y=\frac{2x^2-5x+8}{3}\) và một tiếp tuyến tuyến kẻ từ gốc tọa độ đến (P) là đường thẳng (T) : \(y=x\) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P), (T) và trục Oy bằng số nào ? \(\frac{10}{9}\) đơn vị diện tích \(\frac{12}{9}\) đơn vị diện tích \(\frac{14}{9}\) đơn vị diện tích \(\dfrac{16}{9}\) đơn vị diện tích Hướng dẫn giải: (P) : \(y=\frac{2x^2-5x+8}{3};\left(T\right):y=x\) Hoành độ tiếp điểm của (P) và (T) là nghiệm của phương trình : \(\frac{2x^2-5x+8}{3}=x\Leftrightarrow2x^2-5x+8=3x\) \(\Leftrightarrow2x^2-8x+8=0\) \(\Leftrightarrow2\left(x^2-4x+4\right)=0\) \(\Leftrightarrow2\left(x-2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow x=2\) (P) lõm nên (T) nằm phía dưới (P) \(\Rightarrow S=\int\limits^2_0\left(\frac{2x^2-5x+8}{3}-x\right)dx=\int\limits^2_0\frac{2x^2-8x+8}{3}dx=\frac{2}{3}\int\limits^2_0\left(x-2\right)^2dx\) \(=\frac{2}{9}\left(x-2\right)^3|^2_0=\frac{2}{9}\left(0-\left(-2\right)^3\right)=\frac{16}{9}\) đơn vị diện tích
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \(y=\frac{x^2}{4}\) và \(y=-\dfrac{x^2}{2}+3x\) là bao nhiêu đơn vị diện tích ? Hãy chọn kết quả đúng. 4 đơn vị diện tích 8 đơn vị diện tích 12 đơn vị diện tích 16 đơn vị diện tích Hướng dẫn giải: \(\left(P\right):y=\frac{x^2}{4};\left(P'\right):y=-\frac{x^2}{2}+3x\) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (P') : \(\frac{x^2}{4}=-\frac{x^2}{2}+3x\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{2}-3x=0\) \(\Leftrightarrow\frac{3x^2}{4}-3x=0\) \(\Leftrightarrow3\left(x^2-4x\right)=0\) \(\Leftrightarrow x=0\) hay \(x=4\) Trên \(\left[0;4\right]\) thì \(\left|\frac{x^2}{4}-\left(-\frac{x^2}{2}+3x\right)\right|=\left|\frac{3\left(x^2-4x\right)}{4}\right|=\frac{3\left(4x-x^2\right)}{4}\) \(\Rightarrow S=\frac{3}{4}\int\limits^4_0\left(4x-x^2\right)dx=\frac{3}{4}\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)|^4_0\) \(=\frac{3}{4}\left(32-\frac{64}{3}\right)=8\) đơn vị diện tích
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{-\left(x-2\right)^2}{x-1}\). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C). Tiệm cận xiên của (C) là hai đường thẳng \(x=2;x=e^4+1\) là số nào ? Hãy chọn kết quả đúng. 2 đơn vị diện tích 3 đơn vị diện tích 4 đơn vị diện tích 5 đơn vị diện tích Hướng dẫn giải: \(y=\frac{-\left(x-2\right)^2}{x-1}=\frac{-x^2+4x-4}{x-1}=-x+3-\frac{1}{x-1}\) \(\Rightarrow\left(C\right)\) có tiệm cận xiên \(y=-x+3\) Diện tích hình phẳng: \(S=\int\limits^{e^4+1}_2|^{ }_{ }-x+3-\left(-x+3-\frac{1}{x-1}\right)dx\) \(=\int\limits_2^{e^4+1}\left|\frac{1}{x-1}\right|dx=\int\limits^{e^4+1}_2\frac{dx}{x-1}\)( Do trên \(\left[2,e^4+1\right]\) thì \(x-1>0\) ) \(S=ln\left|x-1\right||^{e^4+1}_2=ln\left|e^4+1-1\right|-ln\left|2-1\right|\) \(=lne^4=4\) đơn vị diện tích
(C) là đồ thị của hàm số \(y=x^3+1\) Gọi S là miền phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ \(Ox;Oy\) Cho S quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành là số nào ? Hãy chọn kết quả đúng \(\frac{5\pi}{14}\) đơn vị thể tích \(\frac{9\pi}{14}\) đơn vị thể tích \(\frac{11\pi}{14}\) đơn vị thể tích \(\frac{13\pi}{14}\) đơn vị thể tích Hướng dẫn giải: Miền phẳng D là phần có tô đậm. Theo công thức tính vật thể tròn xoay thì : \(V=\pi\int\limits^0_{-1}\left(x^3+1\right)^2dx=\pi\int\limits^0_{-1}\left(x^6+2x^3+1\right)dx\) \(=\pi\left(\frac{x^2}{7}+\frac{x^4}{2}+x\right)|^0_{-1}=\pi\left[0-\left(-\frac{1}{7}+\frac{1}{2}-1\right)\right]\) \(=\pi\left(\frac{8}{7}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi.9}{14}\) đơn vị thể tích
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B (2;3). Khi đoạn thẳng AB quay vòng xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu ? Chọn đáp án đúng ? \(\frac{32\pi}{3}\) đơn vị thể tích \(\frac{35\pi}{3}\) đơn vị thể tích \(\frac{38\pi}{3}\) đơn vị thể tích \(\frac{40\pi}{3}\) đơn vị thể tích Hướng dẫn giải: Phương trình của đường thẳng AB : \(y=\frac{x+4}{2}\) Thể tích khối tròn xoay do đoạn AB sinh ra khi quay vòng xung quanh trục Ox : \(V=\pi\int\limits^2_0\left(\frac{x+4}{2}\right)^2dx=\frac{\pi}{4}\int\limits^2_0\left(x+4\right)^2dx\) \(=\frac{\pi}{4}.\frac{\left(x+4\right)^3}{3}|^2_0=\frac{\pi}{12}\left[6^3-4^3\right]=\frac{38}{3}\pi\) đơn vị thể tích
Gọi S là miền phẳng giới hạ bởi đồ thị \(y=e^{2x};y=0;x=0;x=2\) Khối tròn xoay tạo thành khi cho S quay vòng xung quanh trục Ox có thể tích bằng số nào ? Chọn kết quả đúng. \(\frac{\pi}{2}\left(e^8-1\right)\) đơn vị thể tích \(\frac{\pi}{4}\left(e^8-1\right)\) đơn vị thể tích \(\frac{\pi}{6}\left(e^8-1\right)\) đơn vị thể tích \(\frac{\pi}{9}\left(e^8-1\right)\) đơn vị thể tích Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^2_0\left(e^{2x}\right)^2dx=\pi\int\limits^2_0e^{4x}dx=\frac{\pi}{4}e^{4x}|^2_0=\frac{\pi}{4}\left(e^8-1\right)\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=\cos x;y=\sin x\) và hai đường thẳng \(x=0;x=\frac{\pi}{2}\) . \(S=2\left(\sqrt{2}-1\right)\) \(S=2\left(1-\sqrt{2}\right)\) \(S=2\sqrt{2}\) \(S=2\sqrt{2}-1\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left|\cos x-\sin x\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left|\cos x-\sin x\right|\text{d}x+\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\left|\cos x-\sin x\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(\cos x-\sin x\right)\text{d}x+\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\left(\sin x-\cos x\right)\text{d}x\) \(=\left(\sin x+\cos x\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0+\left(-\cos x-\sin x\right)|^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\) \(=\sqrt{2}-1-1+\sqrt{2}\) \(=2\left(\sqrt{2}-1\right)\)
Gọi S là số đo của diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=2x^2+3x+1\) và parabol \(y=x^2-x-2\). Tính \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)\) . \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)=0\) \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Hai parabol cắt nhau tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \(2x^2+3x+1=x^2-x-2\) \(\Leftrightarrow x^2+4x+3=0\) \(\Leftrightarrow x=-1;x=-3\) \(S=\int\limits^{-1}_{-3}\left|2x^2+3x+1-\left(x^2-x-2\right)\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^{-1}_{-3}\left|x^2+4x+3\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^{-1}_{-3}\left(-x^2-4x-3\right)\text{d}x\) (vì trên [-3;-1] \(-x^2-4x-3\le0\)) \(=\left(-\frac{x^3}{3}-2x^2-3x\right)|^{-1}_{-3}\) \(=\frac{4}{3}\) Suy ra: \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường \(y=x\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=\pi\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau sai ? \(\sin\frac{S}{2}=1\) \(\cos2S=1\) \(\tan\frac{S}{4}=1\) \(\sin S=1\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\pi}_0\left|x\sin x\right|\text{d}x=\int\limits^{\pi}_0x\sin x\text{d}x\) Đặt \(\begin{cases}u=x\\v'=\sin x\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}u'=1\\v=-\cos x\end{cases}\) \(S=-x\cos x|^{\pi}_0+\int\limits^{\pi}_0\cos x\text{d}x\) \(=\pi+\sin x|^{\pi}_0=\pi\) Vậy \(\sin S=0\) và D là khẳng định sai
Kí hiệu \(S_1;S_2\) lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2+1;y=0;x=-1;x=2\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? \(S_1=S_2\) \(S_1>S_2\) \(S_1=\frac{1}{2}S_2\) \(\frac{S_2}{S_1}=6\) Hướng dẫn giải: \(S_2=\int\limits^2_{-1}\left|x^2+1\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^2_{-1}\left(x^2+1\right)\text{d}x\) \(=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)|^2_{-1}\) \(=6\) \(S_1=1\)
