Đặt \(a=S.e\) trong đó S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\ln x;y=0;x=\frac{1}{e};x=e\) có thể được dưới dạng \(S=\frac{a}{e}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(a^2-3a+2=0\) \(a^2-a-2=0\) \(a^2+3a-4=0\) \(2a^2-3a-2=0\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^e_{\frac{1}{e}}\ln x\text{d}x\) Đặt \(\begin{cases}u=\ln x\\v'=1\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}u'=\frac{1}{x}\\v=x\end{cases}\) \(S=x\ln x|^e_{\frac{1}{e}}-\int\limits^e_{\frac{1}{e}}\text{d}x\) \(=e+\frac{1}{e}-\left(e-\frac{1}{e}\right)=\frac{2}{e}\) Suy ra: \(S=\frac{a}{e}=\frac{2}{e}\) => a = 2. Do đó A, B, D đúng; C sai. Chọn C.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol \(y=x^2-3x+2\) và hai đường thẳng \(y=x-1;x=0\) \(S=\frac{111}{42}\) \(S=\frac{4}{3}\) \(S=\frac{799}{300}\) \(S=2\) Hướng dẫn giải: Giao của \(y=x^2-3x+2\) và \(y=x-1\) là điểm có hoành độ: \(x^2-3x+2=x-1\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\) \(\Leftrightarrow x=1;x=3\) Vậy diện tích chỉ là phần giới hạn bởi 2 đường trên (trong đoạn [1;3]) \(S=\int\limits^3_1\left|x^2-3x+2-\left(x-1\right)\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^3_1\left|x^2-4x+3\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^3_1\left(-x^2+4x-3\right)\text{d}x\) (vì trên [1;3] \(x^2-4x+3\le0\)) \(=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)|^3_1\) \(=\frac{4}{3}\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y^2+x-5=0;x+y-3=0\) . \(S=3\) \(S=4\) \(S=4,5\) \(S=5\) Hướng dẫn giải: Hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(x=-y^2+5\) và \(x=-y+3\). Hai đường này cắt nhau tại các điểm có tung độ thỏa mãn: \(-y^2+5=-y+3\) \(\Leftrightarrow y^2-y-2=0\) \(\Leftrightarrow y=-1;y=2\) Vậy diện tích là: \(S=\int\limits^2_{-1}\left|-y^2+5-\left(-y+3\right)\right|\text{d}y\) \(=\int\limits^2_{-1}\left|-y^2+y+2\right|\text{d}y\) \(=\int\limits^2_{-1}\left(-y^2+y+2\right)\text{d}y\) (vì trong khoảng 2 nghiệm tam thức dương) \(=\left(-\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+2y\right)|^2_{-1}\) \(=4,5\)
Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởicác đường \(y^2=2x;x-2y+2=0;y=0\). Tính S ? S = 20 S = 30 S = 40 S = 50 Hướng dẫn giải: Hai đường \(y^2=2x;x-2y+2=0\) cắt nhau tại điểm có tung độ: \(\frac{y^2}{2}=2y-2\) \(\Leftrightarrow y^2-4y+4=0\) \(\Leftrightarrow y=2\) \(\Rightarrow x=\frac{y^2}{2}=2\) Hình trên giới hạn bởi đường \(x=2y-2\) , \(x=\frac{1}{2}y^2\) , \(y=0,y=2\), có diện tích là: \(S_1=\int\limits^2_0\left[\frac{1}{2}y^2-\left(2y-2\right)\right]\text{d}y\) \(=\left(\frac{y^3}{6}-y^2+2y\right)|^2_0\) \(=\frac{8}{6}\) Hình H có diện tích gấp 30 lần, vậy \(S=30.S_1=30.\frac{8}{6}=40\)
Kí hiệu \(S_1;S_2;S_3\) lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=2\sqrt{1-x^2};y=2\left(1-x\right)\). Tính tỉ số \(\frac{S_1+S_3}{S_2}\) ? \(\frac{S_1+S_3}{S_2}=\frac{1}{3}\) \(\frac{S_1+S_3}{S_2}=\frac{1}{4}\) \(\frac{S_1+S_3}{S_2}=\frac{1}{2}\) \(\frac{S_1+S_3}{S_2}=\frac{1}{5}\) Hướng dẫn giải: Diện tích hình vuông đơn vị \(S_1=1\) Diện tích hình tròn đơn vị: \(S_2=\pi.1^2=\pi\) Hai đường \(y=2\sqrt{1-x^2};y=2\left(1-x\right)\) cắt nhau tại các điểm có hoành độ thỏa mãn: \(2\sqrt{1-x^2}=2\left(1-x\right)\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le1\\1-x^2=1-x\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=1\end{array}\right.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên là: \(S_3=\int\limits^1_0\left|2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right|\text{d}x\) Với \(0\le x\le1\) thì \(2\sqrt{1-x^2}\ge2\left(1-x\right)\) (vì \(1-x^2\ge\left(1-x\right)^2\Leftrightarrow2x\left(x-1\right)\le0\)) Suy ra: \(S_3=\int\limits^1_0\left[2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right]\text{d}x\) Đặt \(x=\sin t\) \(\Rightarrow\text{d}x=\cos t\text{d}t\) \(S_3=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_02\left[\sqrt{1-\sin^2t}-\left(1-\sin t\right)\right]\cos t\text{d}t\) \(=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\cos t-1+\sin t\right)\cos t\text{d}t\) \(=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left|\cos^2t-\cos t+\sin t\cos t\right|\text{d}t\) \(=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\frac{1+\cos2t}{2}-\cos t+\frac{\sin2t}{2}\right)\text{d}t\) \(=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(1+\cos2t-2\cos t+\sin2t\right)\text{d}t\) \(=\left(t+\frac{1}{2}\sin2t-2\sin t-\frac{1}{2}\cos2t\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0\) \(=\frac{\pi}{2}-1\) \(\Rightarrow\frac{S_1+S_3}{S_2}=\frac{1+\frac{\pi}{2}-1}{\pi}=\frac{1}{2}\)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây sai ? Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường \(y=\sqrt{R^2-x^2};\left(-R\le x\le R\right)\) và đường thẳng \(y=0\) xung quanh trục Ox Hình cầu bán kính R có thể tích \(V=\pi\int\limits^R_{-R}\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2dx\) Hình cầu bán kính R có thể tích \(V=\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)|^R_{-R}\) Hình cầu bán kính R có thể tích \(V=\pi\int\limits^R_{-R}\sqrt{R^2-x^2}dx\) Hướng dẫn giải: D sai.
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt[3]{x};y=0;x=1;x=8\) \(V=\pi^2\) \(V=\pi^2\) \(V=18,6\) \(V=\frac{93\pi}{5}\) Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^8_1\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\text{d}x\) \(=\pi\int\limits^8_1x^{\frac{2}{3}}\text{d}x\) \(=\pi.\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}|^8_1\) \(=\pi.\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}|^8_1\) \(=\frac{93\pi}{5}\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{\tan x};y=0;x=0;x=\frac{\pi}{4}\) \(V=\frac{\pi}{4}\) \(V=\frac{\pi^2}{4}\) \(V=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\) \(V=\frac{\pi\ln2}{2}\) Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(\sqrt{\tan x}\right)^2\text{d}x\) \(=\pi\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{\sin x}{\cos x}\text{d}x\) \(=\pi\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{-\text{d}\left(\cos x\right)}{\cos x}\text{d}x\) \(=-\pi\ln\left(\cos x\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0\) \(=-\pi\ln\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(=\frac{\pi}{2}\ln2\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4-x^2;y=0\) ? \(V=2\pi\) \(V=\frac{71}{82}\) \(V=\frac{512\pi}{15}\) \(V=\frac{8}{3}\pi^2\) Hướng dẫn giải: Đồ thị \(y=4-x^2\) là parabol quay hướng lõm xuống dưới cắt đường thẳng y = 0 (trục hoành) tại hai điểm -2 và 2. Thể tích khối tròn xoay là: \(V=\pi\int\limits^2_{-2}\left|\left(4-x^2\right)^2\right|\text{d}x\) \(=\pi\int\limits^2_{-2}\left(16-8x^2+x^4\right)\text{d}x\) \(=\pi\left(16x-\frac{8x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right)|^2_{-2}\) \(=\frac{512\pi}{15}\)
Kí hiệu \(V_1;V_2\) lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y=-2x+2\) và đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\). Hãy so sánh \(V_1;V_2\) ? \(V_1< V_2\) \(V_1=V_2\) \(V_1>V_2\) \(V_1=2V_2\) Hướng dẫn giải: Thể tích hình cầu bán kính đơn vị là \(V_1=\frac{4}{3}\pi.1^3=\frac{4}{3}\pi\). Ta tích thể tích khối tròn xoay thứ hai như sau: Đường thẳng \(y=-2x+2\) và đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ thỏa mãn: \(-2x+2=2\sqrt{1-x^2}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x+1\ge0\\\left(-x+1\right)^2=1-x^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le1\\x=0;x=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=1\end{array}\right.\) Thể tích khối tròn xoay thứ hai tính theo công thức: \(V_2=\pi\int\limits^1_0\left|\left(-2x+2\right)^2-\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2\right|\text{d}x\) \(=8\pi\int\limits^1_0\left|x^2-x\right|\text{d}x\) \(=8\pi\int\limits^1_0\left(x-x^2\right)\text{d}x\) \(=8\pi\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)|^1_0\) \(=\frac{4\pi}{3}\) Vậy \(V_1=V_2=\frac{4\pi}{3}\)
