Kí hiệu \(V_1;V_2\)lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng H giới hạn bởi đường cong \(y=\frac{2}{2-x}\) và các đường \(y=0;x=0;x=1\). Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\) ? \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}\) \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{3}\) \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}\) \(\frac{V_1}{V_2}=2\) Hướng dẫn giải: Thể tích hình cầu bán kính đơn vị là \(V_1=\frac{4}{3}\pi.1^3=\frac{4\pi}{3}\) Thể tích khối tròn xoay thứ hai là: \(V_2=\pi\int\limits^1_0\left(\frac{2}{2-x}\right)^2\text{d}x\) \(=4\pi\int\limits^1_0\frac{1}{\left(x-2\right)^2}\text{d}x\) \(=4\pi\frac{-1}{x-2}|^1_0\) \(=2\pi\) => \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi}{2\pi}=\frac{2}{3}\)
Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như hình vẽ dưới đây. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) \(S=\int\limits^b_a-f\left(x\right)\text{d}x\) \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\) \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right|\) Hướng dẫn giải: Theo hình vẽ thì \(f\left(x\right)< 0\) nên \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=\int\limits^b_a-f\left(x\right)\text{d}x=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right|\) . Do đó chọn A.
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ dưới. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) \(S=-\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\) \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right|\) Hướng dẫn giải: Khẳng định đúng là: \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\)
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1,x=2\) như trong hình vẽ sau đây. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(S=\int\limits^2_{-1}x^3\text{d}x\) \(S=-\int\limits^0_{-1}x^3\text{d}x+\int\limits^2_0x^3\text{d}x\) \(S=\left|\int\limits^2_{-1}x^3\text{d}x\right|\) Không có khẳng định nào đúng Hướng dẫn giải: Ta có: \(S=\int\limits^2_{-1}\left|x^3\right|\text{d}x=\int\limits^0_{-1}\left|x^3\right|\text{d}x+\int\limits^2_0\left|x^3\right|\text{d}x\) \(=-\int\limits^0_{-1}x^3\text{d}x+\int\limits^2_0x^3\text{d}x\)
Kí hiệu \(S\left(t\right)\) là diện tích của hình thang vuông T giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=t\left(1\le t\le5\right)\). Khẳng định nào sai? \(S\left(t\right)=\left(t+2\right)\left(t-1\right)\) S(t) là một nguyên hàm của \(f\left(t\right)=2t+1,t\in\left[1;5\right]\) Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=5\) có diện tích là \(S=\int\limits^5_1\left(2x+1\right)\text{d}x\) Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=3\) có diện tích là 30 Hướng dẫn giải: Ta có: \(S\left(t\right)=\int\limits^t_1\left|2x+1\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^t_1\left(2x+1\right)\text{d}x\) \(=\left(x^2+x\right)|^t_1=t^2+t-2=\left(t-1\right)\left(t+2\right)\) Phát biểu sai là: Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=3\) có diện tích là 30 , diện tích phải là: (3-1)(3+2) = 10.
Kí hiệu V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=z,x=b\) (như trong hình vẽ dưới) xung quanh trục Ox. Khẳng định nào đúng? \(V=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) \(V=\pi\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) \(V=\pi\left(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right)^2\) \(V=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)\text{d}x\)
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y=e^x,y=0,x=0,x=\ln4\). Đường thẳng \(x=k\) (\(0< k< \ln4\)) chia (H) thành 2 phần có diện tích \(S_1\) và \(S_2\) như hình vẽ. Tìm k để \(S_1=2S_2\). \(k=\frac{2}{3}\ln4\) \(k=\ln2\) \(k=\ln\frac{8}{3}\) \(k=\ln3\) Hướng dẫn giải: \(S_1=\int\limits^k_0e^x\text{dx}\) \(S_2=\int\limits^{\ln4}_0e^x\text{dx}-S_1=e^x|^{\ln4}_0-S_1=4-1-S_1=3-S_1\) Để \(S_1=2S_2\) thì: \(S_1=2\left(3-S_1\right)\) \(\Rightarrow S_1=2\) \(\Rightarrow\int\limits^k_0e^x\text{dx}=2\) \(\Rightarrow e^k-e^0=2\) \(\Leftrightarrow k=\ln3\)
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000đ/m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) 7.862.000 đồng 7.653.000 đồng 7.128.000 đồng 7.826.000 đồng Hướng dẫn giải: Phương trình của elip là: \(\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\) Cung AB có phương trình là \(y=\frac{5}{8}\sqrt{\left(64-x^2\right)}\) Diện tích mảnh đất bằng 4 lần diện tích phần gạch chéo trong hình và bằng: \(S=4.\int\limits^4_0\left[\frac{5}{8}\sqrt{64-x^2}\right]\text{dx}\) Đặt \(x=8.\sin t\) ta có \(\text{dx}=8\cos t\text{dt}\) với \(t|^{\frac{\pi}{6}}_0\) \(S=4.\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\left[\frac{5}{8}.8.\cos t\right]8.\cos t\text{dt}\) \(=20\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\cos^2t\text{dt}=20\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\frac{1+\cos2t}{2}\text{dt}\) \(=10\left[t+\frac{1}{2}\sin2t\right]|^{\frac{\pi}{6}}_0\) \(=10\left(\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) Làm tròn và nhân với 100.000đ thì ra đáp số
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1,x=2\) (phần gạch trong hình vẽ bên). Đặt \(a=\int_{-1}^0f\left(x\right)dx,b=\int_0^2f\left(x\right)dx\) Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây đúng? \(S=b-a\). \(S=b+a\). \(S=-b+a\). \(S=-b-a\). Hướng dẫn giải: Ta đã biết: hình phẳng (H) có diện tích \(S=\int_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|dx\). Áp dụng tính chất tích phân ta có \(\int_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|dx=\int_{-1}^0\left|f\left(x\right)\right|dx+\int_0^2\left|f\left(x\right)\right|dx\). Từ đồ thị đã cho ta thấy \(f\left(x\right)< 0,\forall x\in\left(-1;0\right)\) và \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;2\right)\) nên \(\left|f\left(x\right)\right|=\left\{{}\begin{matrix}-f\left(x\right),x\in\left(-1;0\right)\\f\left(x\right),x\in\left(0;2\right)\end{matrix}\right.\) do đó \(\int_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|dx=\int_{-1}^0\left|f\left(x\right)\right|dx+\int_0^2\left|f\left(x\right)\right|dx=-\int_{-1}^0f\left(x\right)dx+\int_0^1f\left(x\right)dx=-a+b\)
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=1\) và \(x=3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( \(1\le x\le3\)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(\sqrt{3x^2-2}\). \(32+2\sqrt{15}\). \(\dfrac{124\pi}{3}\). \(\dfrac{124}{3}\). \(\left(32+2\sqrt{15}\right)\pi\). Hướng dẫn giải: Thiết diện thẳng có diện tích \(S\left(x\right)=3x\sqrt{3x^2-2}\). Thể tích vật thể là \(V=\int_1^3S\left(x\right)dx=\int_1^33x\sqrt{3x^2-2}dx\). Đặt \(t=\sqrt{3x^2-2}\Rightarrow dt=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2-2}}dx=\dfrac{3x}{t}dt\Rightarrow tdt=\dfrac{3x\sqrt{3x^2-2}}{t}dx\) suy ra \(3x\sqrt{3x^2-2}dx=t^2dt\) . Đổi cận: \(x=1\Rightarrow t=1;x=3\Rightarrow t=5\). Vì vậy \(\int_1^33x\sqrt{3x^2-2}dx=\int_1^5t^2dt=\dfrac{t^3}{3}|_1^5=\dfrac{124}{3}\). Vậy \(V=\dfrac{124}{3}\). Đáp số: \(\dfrac{124}{3}\).
