Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Ứng dụng Tích phân trong hình học

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=\dfrac{\pi}{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
    • \(V=\pi-1\).
    • \(V=\pi\left(\pi-1\right)\)
    • \(V=\pi\left(\pi+1\right)\).
    • \(V=\pi+1\).
    Hướng dẫn giải:

    \(V=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0y^2dx=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(2+\cos x\right)dx=\pi^2+\pi\sin x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0\pi^2+\pi=\pi\left(\pi+1\right)\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây?
    • \(V=\pi\int_a^bf^2\left(x\right)dx\)
    • \(V=2\pi\int_a^bf^2\left(x\right)dx\)
    • \(V=\pi^2\int_a^bf^2\left(x\right)dx\)
    • \(V=\pi^2\int_a^bf\left(x\right)dx\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(y=\sqrt{3}x^2\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^2}\left(0\le x\le2\right)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng:
    01.png
    • \(\dfrac{4\pi+\sqrt{3}}{12}\)
    • \(\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\)
    • \(\dfrac{4\pi+2\sqrt{3}-3}{6}\)
    • \(\dfrac{5\sqrt{3}-2\pi}{3}\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có diện tích hình (H) bằng: \(\int_0^1\sqrt{3}x^2dx+\int_1^2\sqrt{4-x^2}dx=I_1+I_2\)
    \(I_1=\sqrt{3}\int_0^1x^2dx=\sqrt{3}.\dfrac{1}{3}.x^2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x^2|_0^1=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
    \(I_2=\int_1^2\sqrt{4-x^2}dx=\dfrac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+2\arcsin\dfrac{x}{2}|^2_1\)
    \(=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
    Vậy nên \(S_H=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=ax^3+bx^3+cx-\dfrac{1}{2}\) và \(g\left(x\right)=dx^2+ex+1\left(a,b,c,d,e\in\mathbb{R}\right).\) Biết rằng đồ thị của hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(-3;-1;1\) (tham khảo hình vẽ).
    01.png
    Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng:
    • 8
    • 4
    • \(\dfrac{9}{2}\)
    • 5