Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=\dfrac{\pi}{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? \(V=\pi-1\). \(V=\pi\left(\pi-1\right)\) \(V=\pi\left(\pi+1\right)\). \(V=\pi+1\). Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0y^2dx=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(2+\cos x\right)dx=\pi^2+\pi\sin x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0\pi^2+\pi=\pi\left(\pi+1\right)\)
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu? \(V = 2 \) \(V = \frac{4}{3} \) \(V = \frac{{4\pi }}{3}\) \(V = 2\pi \) Hướng dẫn giải: \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx = \frac{{4\pi }}{3}} \)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây? \(V=\pi\int_a^bf^2\left(x\right)dx\) \(V=2\pi\int_a^bf^2\left(x\right)dx\) \(V=\pi^2\int_a^bf^2\left(x\right)dx\) \(V=\pi^2\int_a^bf\left(x\right)dx\)
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(y=\sqrt{3}x^2\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^2}\left(0\le x\le2\right)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng: \(\dfrac{4\pi+\sqrt{3}}{12}\) \(\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\) \(\dfrac{4\pi+2\sqrt{3}-3}{6}\) \(\dfrac{5\sqrt{3}-2\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có diện tích hình (H) bằng: \(\int_0^1\sqrt{3}x^2dx+\int_1^2\sqrt{4-x^2}dx=I_1+I_2\) \(I_1=\sqrt{3}\int_0^1x^2dx=\sqrt{3}.\dfrac{1}{3}.x^2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x^2|_0^1=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(I_2=\int_1^2\sqrt{4-x^2}dx=\dfrac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+2\arcsin\dfrac{x}{2}|^2_1\) \(=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Vậy nên \(S_H=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{6}\)
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=e^x,y=0,x=0,x=2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? \(S=\pi\int_0^2e^{2x}dx\) \(S=\int_0^2e^{2x}dx\) \(S=\int_0^2e^xdx\) \(S=\pi\int_0^2e^xdx\) Hướng dẫn giải: \(S=\int_0^2\left|e^x-0\right|dx=\int_0^2e^xdx\)
Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=ax^3+bx^3+cx-\dfrac{1}{2}\) và \(g\left(x\right)=dx^2+ex+1\left(a,b,c,d,e\in\mathbb{R}\right).\) Biết rằng đồ thị của hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(-3;-1;1\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: 8 4 \(\dfrac{9}{2}\) 5