Cho mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: \(\left(\alpha\right):x-2y+1=0\) và: \(\left(\beta\right):x-2z-3=0\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó: \(\varphi=30^o\) \(\varphi=45^o\) \(\varphi=60^o\) \(\varphi=90^o\) Hướng dẫn giải: Giao tuyến d của hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) là tập các điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ: \(\begin{cases}x-2y+1=0\\x-2z-3=0\end{cases}\) Đặt x = t rồi biểu diễn y, z qua t ta được phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến d là: \(\begin{cases}x=t\\y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\z=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\end{cases}\) => Vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_d}=\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)=\left(2;1;1\right)\) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là \(\phi\) thì: \(\sin\phi=\frac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_P}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n_P}\right|}\) \(=\frac{\left|3.2+4.1+5.1\right|}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\) Vậy \(\varphi=60^o.\)
Cho điểm A (2;3;5) và mặt phẳng (P) : \(2x+3y+z-17=0\). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (P) Tọa độ của A' là : \(A'\left(\frac{12}{7};\frac{18}{7};\frac{34}{7}\right)\) \(A'\left(\frac{12}{7};-\frac{18}{7};\frac{34}{7}\right)\) \(A'\left(\frac{12}{7};-\frac{18}{7};-\frac{34}{7}\right)\) \(A'\left(-\frac{12}{7};\frac{18}{7};-\frac{34}{7}\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho các điểm A (a;0;0); B(0;b;0) và C(0;0;c) với a, b, c là các số dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\). Mặt phẳng (ABC) sẽ luôn đi qua một điểm cố định I. Tọa độ điểm cố định đó là : \(I\left(1;1;1\right)\) \(I\left(2;2;2\right)\) \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) \(I\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng : \(\left(d_1\right):\frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-7}{6};\left(d_2\right):\frac{x-3}{14}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}\) Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa \(\left(d_1\right)\) và \(\left(d_2\right)\) là : \(y-z-2=0\) \(y-z+2=0\) \(y+z-2=0\) \(y+z+2=0\) Hướng dẫn giải:
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-2=0;abc\ne0\) và xét điểm \(M=\left(a,b,c\right)\). Chọn câu đúng ? Mặt phẳng (P) đi qua điểm M Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của đoạn OM Mặt phẳng (P) đi qua hình chiếu của M trên trục Ox Mặt phẳng (P) đi qua hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxz Hướng dẫn giải: Ta lần lượt thay tọa độ các điểm cần kiểm tra vào phương trình mặt phẳng (P). - Điểm M(a;b;c) : Kiểm tra: \(\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}-2=0\) không thỏa mãn, Vậy \(M\notin\left(P\right)\) - Trung điểm I của OM có tọa độ là \(I\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}\right)\), kiểm tra I thuộc (P): \(\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}-2=0\) , không đúng. Vậy \(I\notin\left(P\right)\) - Hình chiếu của M lên Ox là N(a;0;0), kiểm tra N thuộc (P): \(\frac{a}{a}+\frac{0}{b}+\frac{0}{c}-2=0\), không thỏa mãn. Vậy \(N\notin\left(P\right)\) - Hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxz là K(a;0;c). Kiểm tra K có thuộc (P) không: \(\frac{a}{a}+\frac{0}{b}+\frac{c}{c}-2=0\) , thỏa mãn. Vậy \(K\in\left(P\right)\)
Cho đường thẳng d xác định bởi \(\begin{cases}x+y=1\\x-z=0\end{cases}\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x-y+z-2=0\). Chọn câu đúng ? d nằm trong (P) d song song với (P) d cắt (P) tại một điểm nhưng không vuông góc với (P) d vuông góc với (P) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm thuộc d là: A(0; 1; 0); B(1; 0; 1) => vecto \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)\) Dễ thấy tọa độ của A không thỏa mãn phương trình (P) nên d không nằm trên (P). Vecto pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;1\right)=\overrightarrow{AB}\). Suy ra d vuông góc với (P).
Cho đường thẳng d xác định bởi \(x=y=z\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x-2y+z-1=0\). Chọn câu đúng ? d nằm trong (P) d song song với (P) d cắt (P) tại một điểm nhưng không vuông góc với (P) d vuông góc với (P) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm thuộc d là: A(0;0;0) và B(1;1;1), Khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)\). Vì \(A\notin\left(P\right)\) nên d không nằm trong (P). Ta kiểm tra: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;1\right).\left(1;-2;1\right)=1.1+1.\left(-2\right)+1.1=0\) Suy ra \(d\perp\left(P\right)\)
Cho đường thẳng d xác định bởi \(x=-y=z-1\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x+y-z+1=0\). Chọn câu đúng ? d nằm trong (P) d song song với (P) d cắt (P) tại một điểm nhưng không vuông góc với (P) d vuông góc với (P) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm thuộc d; A(0;0;1) và B(-1;1;0). Ta dễ dàng kiểm tra thấy cả A và B thỏa mãn (P) nên d nằm trong (P).
Xét mặt phẳng (P) có phương trình \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\), (a, b, c là ba số cho trước khác 0) và đường thẳng d xác định bởi \(ax=by=cz\). Chọn câu đúng ? d nằm trong (P) d song song với (P) d cắt (P) tại một điểm nhưng không vuông góc với (P) d vuông góc với (P) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm thuộc d là: A(0;0;0) và \(B\left(1;\frac{a}{b};\frac{a}{c}\right)\) Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(1;\frac{a}{b};\frac{a}{c}\right)=bc.\left(bc;ac;ab\right)\) Viết lại phương trình (P) như sau: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) \(\Leftrightarrow bcx+acy+abz=abc\) Vậy vecto \(\overrightarrow{n_P}=\left(bc;ac;ab\right)\) Ta có nhận xét \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n_P}\), suy ra d vuông góc với (P)
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(13x-y+3z-13=0\) và hai điểm \(A=\left(5;3;7\right);B=\left(-2;4;2\right)\). Chọn câu đúng ? Đường thẳng AB nằm trong (P) Đường thẳng AB song song với (P) Đường thẳng AB cắt (P) tại một điểm nằm trong đoạn thẳng AB Đường thẳng AB cắt (P) một điểm nằm ngoài đoạn AB Hướng dẫn giải: Đặt \(f\left(x,y,z\right)=13x-y+3z-13\) Vậy phương trình (P) là \(f\left(x,y,z\right)=0\) và (P) chia không gian thành 2 nửa: một nửa làm cho \(f\left(x,y,z\right)>0\) và nửa kia làm cho \(f\left(x,y,z\right)< 0\). Ta thấy: \(f\left(A\right)=13.5-3+3.7-13=70\) \(f\left(B\right)=13.\left(-2\right)-4+3.2-13=-37\) Vậy A và B thuộc hai phía khác nhau của (P), suy ra AB cắt (P) tại điểm nằm giữa A và B.
