Tìm tọa độ của hình chiếu của điểm \(A=\left(1;2;3\right)\) trên mặt phẳng có phương trình \(x+y+z-3=0\) ? \(\left(1;2;0\right)\) \(\left(1;1;-2\right)\) \(\left(2;1;0\right)\) \(\left(0;1;2\right)\) Hướng dẫn giải: Vec to pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)\). Gọi hình chiếu của A lên mặt phẳng là H. Vậy ta có H nằm trên đường thẳng qua A(1;2;3) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)\). Phương trình tham số của AH là: \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\end{cases}\) Gọi tọa độ của H là (x;y;z), ta có: \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\\x+y+z-3=0\end{cases}\) Suy ra: \(\begin{cases}t=-1\\x=0\\y=1\\z=2\end{cases}\) Vậy H(0;1;2)
Cho điểm \(J=\left(2;1;1\right)\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x+y-z+1=0\). Tìm tọa độ của điểm J' đối xứng với điểm J qua (P) ? \(\left(2;1;3\right)\) \(\left(0;-1;3\right)\) \(\left(3;2;0\right)\) \(\left(-3;1;0\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường cao hạ từ J xuống (p) thì \(\overrightarrow{HJ'}=\overrightarrow{JH}\). Ta tìm tọa độ H sẽ tính được J'. Đường thằng JH đi qua J(2;1;1) và nhận vecto pháp tuyến của (P) \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;-1\right)\)làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của JH là: \(\begin{cases}x=2+t\\y=1+t\\z=1-t\end{cases}\) Tọa độ điểm H thỏa mãn: (H vừa thuộc JH, vừa thuộc (P)): \(\begin{cases}x=2+t\\y=1+t\\z=1-t\\x+y-z+1=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}t=-1\\x=1\\y=0\\z=2\end{cases}\) Vậy H(1;0;2). Vì \(\overrightarrow{HJ'}=\overrightarrow{JH}\) nên: \(\begin{cases}x_{J'}-1=1-2\\y_{J'}-0=0-1\\z_{J'}-2=2-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_{J'}=0\\y_{J'}=-1\\z_{J'}=3\end{cases}\) Vậy J'(0;-1;3)
Cho đường thẳng d có phương trình \(x=y=z\) và mặt phẳng (P) chứa hai đường song song \(\begin{cases}x=0\\y+z=1\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=1\\y+z=1\end{cases}\). Tính sin của góc giữa d và (P) ? \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(\frac{2}{\sqrt{6}}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(\frac{1}{\sqrt{6}}\) Hướng dẫn giải: Lấp 3 điểm thuộc (P): + Điểm A, B nằm trên đường thẳng thứ nhất của (P): A(0;0;1); B(0;1;0) + Điểm C nằm trên đường thắng thứ hai của (P): C(1;0;1) Vecto pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left[\left(0-0;1-0;0-1\right),\left(1-0;0-0;1-1\right)\right]=\left[\left(0;1;-1\right),\left(1;0;0\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}1&-1\\0&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&0\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(0;-1;-1\right)\) Lấy 2 điểm M và N thuộc d để tìm vecto chỉ phương của d: M(0;0;0) , N(1;1;1) và vecto chir phương \(\overrightarrow{NM}=\left(1;1;1\right)\) Ta có góc \(\alpha\) giữa d (tức NM) với (P) phụ với góc giữa NM với \(\overrightarrow{n_P}\), vậy: \(\sin\alpha=\cos\left(\overrightarrow{NM},\overrightarrow{u_P}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{u_P}\right|}{\left|\overrightarrow{NM}\right|.\left|\overrightarrow{u_P}\right|}\) \(=\frac{\left|1.0+\left(-1\right).1+\left(-1\right).1\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\)
Xét giao tuyến d của hai mặt phẳng có phương trình \(2x-y+z-1=0\) và \(x-y-z+1=0\). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng Oxy ? \(z=0;2x-3y=0\) \(3x-2y=0\) \(3x-2y=0;z=0\) \(z=0;3x+2y=0\) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm A và B thuộc d, rối lấy hính chiếu A', B' của A và B lên mặt phẳng Oxy rồi viết đường thẳng A'B'. Điểm A: Cho z = 0, tìm x và y: \(\begin{cases}2x-y-1=0\\x-y+1=0\end{cases}\) => \(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\) Vậy A(2;3;0) Điểm B: cho x = 0, tìm y, z: \(\begin{cases}-y+z-1=0\\-y-z+1=0\end{cases}\) => \(\begin{cases}y=0\\z=1\end{cases}\) Vậy B(0;0;1) Hình chiếu của A(2;3;0) lên Oxy là: A'(2;3;0). Hình chiếu của B(0;0;1) lên Oxy là: B'(0;0;0). Phương trình A'B' là: (chỉ cần đẻ ý trong mặt phẳng Oxy đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm (2;3)) \(\begin{cases}y=\frac{3}{2}x\\z=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2y-3x=0\\z=0\end{cases}\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (3;4;5) và chứa đường thẳng xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\). \(x+2=z\) \(y+1=z\) \(x+1=y\) \(x+y=3\) Hướng dẫn giải: Dễ thấy đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) đi qua điểm A(1;2;0) và song song với trục tọa độ Oz (tức có vecto chi phương (0;0;1). Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(1;2;0) và nhận 2 vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{AB}\) với B(3;4;5). Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là: \(\left[\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{AB}\right]=\left[\left(0;0;1\right),\left(3-1;4-2;5-0\right)\right]=\left[\left(0;0;1\right),\left(2;2;5\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}0&1\\2&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&0\\5&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&0\\2&2\end{matrix}\right|\right)=\left(-2;2;0\right)=2\left(-1;1;0\right)\) Phương trình mặt phẳng là: \(-1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)+0\left(z-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+1=y\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (0;0;1) và chứa đường thẳng có phương trình \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-3}{4}\). \(3x-2y=0\) \(2x-3y=0\) \(x+y=0\) \(3x+2y+z=1\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-3}{4}\) đi qua điểm A(0;0;3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{d}=\left(2;3;4\right)\). Mặt phẳng cần tìm có 2 vacto chỉ phương là \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{d}\) (với B=(0;0;1) là điểm cho trong đề bài). Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{d}\right]=\left[\left(0;0;1-3\right),\left(2;3;4\right)\right]=\left[\left(0;0;-2\right),\left(2;3;4\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\\3&4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2&0\\4&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&0\\2&3\end{matrix}\right|\right)=\left(6;-4;0\right)=2\left(3;-2;0\right)\) Vậy mặt phẳng đi qua (0;0;1) và có vecto pháp tuyến (3;-2;0) có phương trình là: \(3\left(x-0\right)-2\left(y-0\right)+0\left(z-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow3x-2y=0\)
Cho điểm M=(2; 2;1) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x+2y-2z-1=0\). Trong các mặt phẳng (P), (Oxy), (Oyz), (Oxz), xác định mặt phẳng tạo với đường thẳng OM góc bé nhất. (P) (Oxy) (Oyz) (Ozx) Hướng dẫn giải: Ta tính góc giữa OM với các vecto pháp tuyến của các mặt phẳng: - Pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-1\right)\), \(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{n_P}\right)=\dfrac{2.1+2.2+1.\left(-2\right)}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{4}{5}\) - Pháp tuyến của (Oxy) là \(\overrightarrow{n_{Oxy}}=\left(0;0;1\right)\) \(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{n_{Oxy}}\right)=\dfrac{2.0+2.0+1.1}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) - Pháp tuyến của (Oyz) là \(\overrightarrow{n_{Oyz}}=\left(1;0;0\right)\) \(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{n_{Oyz}}\right)=\dfrac{2.1+2.0+1.0}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) - Pháp tuyến của (Ozx) là \(\overrightarrow{n_{Ozx}}=\left(0;1;0\right)\) \(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{n_{Ozx}}\right)=\dfrac{2.0+2.1+1.0}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) Suy ra góc giữa \(OM\) với pháp tuyến mặt phẳng (\(Oxy\)) là lớn nhất (vì góc nhọn có cos nhỏ hơn thì lớn hơn), hay là góc giữa OM với mawth phẳng (Oxy) là nhỏ nhất (vì góc giữa OM và mặt phẳng là góc phụ với góc giữa OM và pháp tuyến của mặt phẳng đó).
Cho hai điểm A=(1;2;1) và B = (4;5;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình \(3x-4y+5z+6=0\). Đường thẳng AB cắt (P) tại M. Tính tỉ số \(\dfrac{MB}{MA}\). \(2\) \(4\) \(\dfrac{1}{4}\) \(3\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương: \(\overrightarrow{AB}=\left(4-1;5-2;-2-1\right)=\left(3;3;-3\right)=3\left(1;1;-1\right)\) Phương trình tham số của AB là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=1-t\end{matrix}\right.\) Muốn tìm giao điểm M, thay x, y, z của phương trình AB vào (P) ta có: \(3\left(1+t\right)-4\left(2+t\right)+5\left(1-t\right)+6=0\) \(\Leftrightarrow t=1\) => M có tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+1=2\\y=2+1=3\\z=1-1=0\end{matrix}\right.\) Hay là \(M\left(2;3;0\right)\). \(\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(5-3\right)^2+\left(-2+0\right)^2}}{\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(2-3\right)^2+\left(1+0\right)^2}}=2\)
Cho đường thẳng d có phương trình \(\dfrac{x-1}{2}=y+1=z+2\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x-y-z=0\). Khẳng định nào sau đây đúng? d cắt (P) tại đúng một điểm và d tạo với (P) góc \(45^o\). d song song với (P). d nằm trong (P). d vuông góc với (P). Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của d như sau: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{1}\) Từ đó ta thấy d đi qua điểm M(1;-1;-2) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{d}=\left(2;1;1\right)\). Vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;-1\right)\). Dễ thấy \(\overrightarrow{d}.\overrightarrow{n_P}=\left(2;1;1\right).\left(1;-1;-1\right)=2.1-1.1-1.1=0\). \(\overrightarrow{d}\) vuông góc với \(\overrightarrow{n_P}\). Suy ra d hoặc song song với (P) hoặc d nằm trong (P). Ta thấy tọa độ M không thỏa mãn phương trình (P) : \(1-\left(-1\right)-\left(-2\right)\ne0\) nên M không nằm trên (P). Vậy d song song với (P).
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x+2y-z-2=0\). Tìm tọa độ điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P). \(\left(1;2;-1\right)\) \(\left(-1;-2;1\right)\) \(\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{-2}{3}\right)\) \(\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{2}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi điểm đối xứng là A(a;b;c) thì ta có: - Trung điểm của OA là \(I\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}\right)\) nằm trên (P) - \(\overrightarrow{OA}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-1\right)\). Vậy ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{2}+\dfrac{2b}{2}-\dfrac{c}{2}-2=0\\\left(a;b;c\right)=k\left(1;2;-1\right)\end{matrix}\right.\) Từ phương trình thứ hai rút a, b, c theo k rồi thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(\dfrac{k}{2}+2k+\dfrac{k}{2}-2=0\) \(\Rightarrow k=\dfrac{2}{3}\) => \(\left(a;b;c\right)=\dfrac{2}{3}\left(1;2;-1\right)=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};-\dfrac{2}{3}\right)\)
