Với mỗi điểm M của mặt phẳng (P) có phương trình \(x-2y+z-1=0\) lấy điểm M' đối xứng với M qua trục Ox. Viết phương trình mặt phẳng chứa các điểm M' đó. \(-x-2y+z-1=0\) \(x+2y-z-1=0\) \(x-2y+z+1=0\) \(x+2y-z+1=0\) Hướng dẫn giải: Có thể dựa trên 3 điểm giao của (P) với 3 trục tọa độ: Cho y=0,z=0 => x = 1 => (P) cắt Ox tại A(1;0;0). Cho z=0, x=0 => y=-1/2 => (P) cắt Ox tại B(0;-1/2;0). Cho x=0,y=0 => z=1 => (P) cắt Oz tại điểm C(0;0;1). Lấy đối xứng A, B, C qua trục Ox ta được các điểm A(1;0;0), B'(0;1/2;0); C'(0;0;-1). Mặt phẳng đối xứng với (P) qua Ox là mặt phẳng đi qua A, B', C' và có phương trình chắn 3 trục tọa độ là: \(\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{z}{-1}=1\) \(\Leftrightarrow x+2y-z-1=0\)
Viết phương trình tham số của hình chiếu của trục Ox trên mặt phẳng (P) có phương trình \(y+z=1\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1\\z=0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=0\\z=1\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=2\\z=-1\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng \(y+z=1\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(0;1;1\right)\). Trục \(Ox\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{Ox}=\left(1;0;0\right)\). Ta thấy \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{Ox}=\left(0;1;1\right).\left(1;0;0\right)=0\) nên Ox song song với (P) (vì Ox vuông góc với pháp tuyến của (P)). Hình chiếu của Ox lên mặt phẳng \(y+z=1\) là đường thẳng \(O'x'\) (như hình vẽ trên). Với O' là hình chiếu của O lên mặt phẳng \(y+z=1\) và có tọa độ là \(O'=\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) Phương trình của đường thẳng \(O'x'\) là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x-y-z=2\). Tìm phương trình của hình chiếu của trục Oz trên mặt phẳng (P). \(\dfrac{x}{2}=-y=\dfrac{z+2}{5}\) \(\dfrac{x}{2}=-y=\dfrac{z-2}{5}\) \(\dfrac{x}{2}=y=-\dfrac{z+2}{5}\) \(\dfrac{x}{2}=-y=\dfrac{z}{5}\) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm trên Ox là O(0;0;0) và A(0;0;1) rồi tìm hình chiếu O' và A' trên (P) như sau: - Tìm hình chiếu O': Giả sử O'(a;b;c) khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}2a-b-c=2\\\overrightarrow{OO'}=k.\overrightarrow{n_P}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-b-c=2\\\left(a;b;c\right)=k.\left(2;-1;-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{1}{3}\\\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\) Vậy \(O'\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\) Tương tự, ta tìm hình chiếu A' của A trên P ta được \(A'\left(1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) (trùng với A vì A nằm trên (P)). Vậy hình chiếu của trục Ox trên (P) là đường thẳng O'A' và có phương trình là: \(\dfrac{x-x_{A'}}{x_{O'}-x_{A'}}=\dfrac{y-y_{A'}}{y_{O'}-y_{A'}}=\dfrac{z-z_{A'}}{z_{O'}-z_{A'}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{\dfrac{2}{3}-1}=\dfrac{y+\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{z-\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{y+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{z-\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{5}{6}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2}=-y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{z-\dfrac{1}{2}}{5}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=-y=\dfrac{z+2}{5}\)
Tìm giá trị của tham số m để mặt phẳng xác định bởi tham số m để mặt phẳng xác định bởi phương trình \(\left(1+2m\right)x-y+\left(1-m\right)z-1+2m=0\) vuông góc với đường thẳng xác định bởi phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\3y+2z=0\end{matrix}\right.\). m = 1 m = -1 \(m=\dfrac{5}{3}\) Không có giá trị nào của m như thế Hướng dẫn giải: Mặt phẳng \(\left(1+2m\right)x-y+\left(1-m\right)z-1+2m=0\) có vcpt là \(\overrightarrow{u}\left(1+2m,-1,1-m\right)\). Phương trình đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\3y+2z=0\end{matrix}\right.\) có phương trình tham số là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2t\\z=3t\end{matrix}\right.\). Vậy đường thẳng có vtcp là \(\overrightarrow{v}\left(0;-2;3\right)\). Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\)\(\Leftrightarrow\left(-1\right).\left(-2\right)+\left(1-m\right).3=0\)\(\Leftrightarrow5-3m=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{3}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):2x-2y-z+1=0\)và đường thẳng \(\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{2}\). Tính khoảng cách d giữa \(\Delta\) và (P). \(d=\dfrac{1}{3}\). \(d=\dfrac{2}{3}\). \(d=\dfrac{5}{3}\). \(d=2\). Hướng dẫn giải: Từ phương trình \(\Delta\)suy ra \(\Delta\)qua A(1;-2;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;1;2\right)\). Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-2;-1\right)\). Ta thấy \(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}=2.2+1.\left(-2\right)+2.\left(-1\right)=0\) suy ra \(\Delta\)song song với (P), khoảng cách từ A tới (P) cũng là khoảng cách d giữa \(\Delta\) và (P). Vì vậy \(d=\dfrac{\left|2.1-2.\left(-2\right)-\left(1\right)+1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{9}}=2\)
