Cho hai đường thẳng chéo nhau : \(\left(d\right):\begin{cases}x=3-4t\\y=-2+t\\z=-1+t\end{cases}\) và \(\left(d'\right):\begin{cases}x=6t'\\y=1+t'\\z=2+2t'\end{cases}\) Phương trình nào sau đây là phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d') : \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{2}\) \(\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}\) \(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\) Hướng dẫn giải:
Cho đường thẳng d có phương trình \(x=y=z\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\begin{cases}x+y=0\\z=0\end{cases}\). Chọn câu đúng ? d và d' trùng nhau d và d' vuông góc với nhau d và d' chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau d và d' song song với nhau Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm A, B thuộc d: A(0;0;0); B(1;1;1). Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)\) Lấy 2 điểm M, N thuộc d': M(0;0;0); N(1;-1;0). Suy ra \(\overrightarrow{MN}=\left(1;-1;0\right)\) Dễ thấy A trùng với M nên d và d' có chung một điểm. Vì \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=1.1+1.\left(-1\right)+1.0=0\) nên dai đường thẳng vuông góc.
Xét đường thẳng d xác định bởi \(\begin{cases}x=y\\z=1\end{cases}\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\begin{cases}x=y\\z=-1\end{cases}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó ? 1 \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) 2 Hướng dẫn giải: Dễ thấy hai đường thẳng d và d' song song với nhau và nằm trên 2 mặt phẳng song song z=1 và z=-1. Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng z = 1 và z=-1. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này bằng 2.
Xét đường thẳng d xác định bởi \(\begin{cases}x=y\\z=1\end{cases}\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\begin{cases}x=-y\\z=-1\end{cases}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó ? 1 \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) 2 Hướng dẫn giải: Dễ thấy d nằm trong mặt phẳng z = 1 và d' nằm trong mặt phẳng z=-1 và hai mặt phẳng này song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng 2. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho cũng bằng 2.
Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(x=y=0\) và đường thẳng \(x=y=1\) ? 1 \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) 2 Hướng dẫn giải: Hai đường thằng đã cho song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng \(\sqrt{2}\)
Xét đường thẳng d có phương trình \(x=y=z\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\begin{cases}x+y=1\\z=0\end{cases}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ? \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{6}\) \(\frac{1}{\sqrt{6}}\) Hướng dẫn giải: Lấy hai điểm A và B thuộc d: A(0;0;0), B(1;1;1). Lấy hai điểm M, N thuộc d': M(0;1;0); N(1;0;0). Dựng mặt phẳng (P) đi qua A(0;0;0), chứa d và song song với d'. Ta có: (P) có vacto pháp tuyến là: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MN}\right]=\left[\left(1;1;1\right),\left(1;-1;0\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}1&1\\-1&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right|\right)=\left(1;1;-2\right)\) Phương trình của (P) là: \(1.\left(x-0\right)+1.\left(y-0\right)-2\left(z-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-2z=0\) Khoảng cách giữa d và d' sẽ bằng khoảng cách từ M đến (P) và bằng: \(kc\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|0+1-2.0\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\left(-2\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)
Xét đường thẳng d có phương trình \(x=y=z\) và đường thẳng d' xác định bởi \(x=y-1=z+1\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ? \(1\) \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) 2 Hướng dẫn giải: Trên d lấy hai điểm A và B: A(0;0;0), B(1;1;1) => \(\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)\) Trên d' lấy hai điểm M và N: M(0;1;-1), N(1;2;0) => \(\overrightarrow{MN}=\left(1-0;2-1;0+1\right)=\left(1;1;1\right)\) Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}\) nên hai đường thẳng d và d' song song. Khoảng cách giữa d và d' bằng khoảng cách từ M đến d. Gọi H(x;y;z) là chân đường cao hạ từ M xuống d, ta có: \(\begin{cases}x=y=z\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AH}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=z\\\left(1;1;1\right).\left(x;y;z\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=0\) Vậy H(0;0;0) và khoảng cách \(MH=\sqrt{0^2+\left(1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{2}\)
Gọi các hình chiếu của đường thẳng có phương trình \(x=y=z\) trên mặt phẳng tọa độ Oyz là đường thẳng d và trên mặt phẳng Ozx là đường thẳng d'. Tính số đo độ của góc giữa hai đường thẳng d và d' ? \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) \(90^0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng đã cho đi qua 2 điểm là O(0;0;0) và A(1;1;1). Hình chiếu của O và A lên Oyz là: O(0;0;0) và \(A_1\left(0;1;1\right)\). Hình chiếu của O và A lên Ozx là: O(0;0;0) và \(A_2\left(1;0;1\right)\). Như vậy d là đường thẳng \(OA_1\), d' là đường thẳng \(OA_2\), góc giữa hai đường thẳng xác định bởi: \(\cos\left(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2}\right)=\frac{\overrightarrow{OA_1}.\overrightarrow{OA_2}}{\left|\overrightarrow{OA_1}\right|.\left|\overrightarrow{OA_2}\right|}=\frac{0.1+1.0+1.1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\) Suy ra góc giữa \(\overrightarrow{OA_1}\) và \(\overrightarrow{OA_2}\) bằng \(60^0\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét trung điểm P của cạnh BB' và trung điểm Q của cạnh A'D'. tính số đo góc giữa hai đường thẳng AC' và PQ ? \(60^0\) \(45^0\) \(30^0\) \(90^0\) Hướng dẫn giải: Xét hệ tọa độ (A; AB, AA',AD), khi đó \(P\left(1;\frac{1}{2};0\right)\) và \(Q\left(0;1;\frac{1}{2}\right)\) Ta có: \(\overrightarrow{AC'}=\left(1;1;1\right)\) , \(\overrightarrow{PQ}=\left(0-1;1-\frac{1}{2};\frac{1}{2}-0\right)=\left(-1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) \(\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{PQ}=1.\left(-1\right)+1.\frac{1}{2}+1.\frac{1}{2}=0\) Vậy góc giữa AC' và PQ bằng $90^o$.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét trung điểm Q của cạnh A'D'. Tìm điểm P thuộc đường thẳng BB' sao cho hai đường thẳng AC' và PQ vuông góc ? Điểm B' Điểm B Trung điểm của BB'; Có hai điểm P Hướng dẫn giải: Gọi hệ tọa độ là (A, AB, AA', AD), khi đó \(Q\left(0;1;\frac{1}{2}\right)\). Lấy điểm P thuộc BB' thì tọa độ P là \(P\left(1;y;0\right)\). Để AC' vuông góc với PQ thì: \(\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{PQ}=0\) \(\Leftrightarrow\left(1;1;1\right).\left(1-0;y-1;0-\frac{1}{2}\right)=0\) \(\Leftrightarrow1+y-1-\frac{1}{2}=0\) \(\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\) Vậy \(P\left(1;\frac{1}{2};0\right)\), hay P là trung điểm của BB'.
