Xét giao tuyến d của hai mặt phẳng có phương trình theo thứ tự là \(2x-y+z+1=0;x+y-z-2=0\). Tìm số đo độ của góc giữa d và trục Oz ? \(0^0\) \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm A, B thuộc d rồi xác định vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) của d, sau đó tính cos của góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và trục Oz (Trục Oz có vecto là (0;0;1)). Lấy điểm A thuộc d như sau: cho y=0, ta tìm tìm x, z : \(\begin{cases}2x+z+1=0\\x-z-2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\z=\frac{-5}{3}\end{cases}\) Vậy \(A\left(\frac{1}{3};0;\frac{-5}{3}\right)\) Lấy điểm B thuộc d như sau: cho z=-2, tìm x, y: \(\begin{cases}2x-y-1=0\\x+y=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{-1}{3}\end{cases}\) Vậy \(B\left(\frac{1}{3};\frac{-1}{3};-2\right)\) Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3};\frac{-1}{3}-0;-2+\frac{5}{3}\right)=\left(0;-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)=\frac{-1}{3}\left(0;1;1\right)\) Lây vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_d}=\left(0;1;1\right)\) \(\cos\left(\overrightarrow{u_d},Oz\right)=\frac{\overrightarrow{u_d}.\left(0;0;1\right)}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{\left(0;0;1\right)}\right|}=\frac{1}{\sqrt{\left(0\right)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) Vậy góc giữa d và Oz là \(45^0\).
Tìm số đo độ của góc giữa đường thẳng \(\begin{cases}x=y\\z=0\end{cases}\) và đường thẳng \(\begin{cases}x=0\\y=z\end{cases}\) ? \(90^0\) \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) Hướng dẫn giải: Tìm vecto chỉ phương của các đường thẳng bằng cách xác định trên mỗi đường thẳng 2 điểm. Trên đường thẳng thứ nhất \(\begin{cases}x=y\\z=0\end{cases}\) lấy hai điểm như sau: + Cho x = y = z = 0, ta được O(0;0;0) + Cho x = y = 1, z = 0t. ta được A(1;1;0) Vecto chỉ phương của đường thẳng thứ nhất là: \(\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{OA}=\left(1;1;0\right)\) Tương tự, trên đường thẳng thứ hai \(\begin{cases}x=0\\y=z\end{cases}\) ta tìm 2 điểm như sau: + Cho x = 0 = y = z, ta được O(0;0;0) + Cho x = 0, y=z=1, ta được B(0;1;1) Vecto chỉ phương của đường thẳng thứ hai là: \(\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{OB}=\left(0;1;1\right)\) Góc giữa hai đường thẳng có: \(\cos\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)=\frac{\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\left(1;1;0\right).\left(0;1;1\right)}{\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{2}\) Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng \(60^0\)
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm (1;0;0) và (0;1;1), đường thẳng d' đi qua hai điểm (0;0;1) và (1;1;0). Tính cosin của góc (giữa 0 và \(\frac{\pi}{2}\)) giữa d và d' ? \(\frac{1}{2}\) 0 \(\frac{1}{3}\) 1 Hướng dẫn giải: Vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_d}=\left(0-1;1-0;1-0\right)=\left(-1;1;1\right)\) Vecto chỉ phương của d' là: \(\overrightarrow{u_d}=\left(1-0;1-0;0-1\right)=\left(1;1;-1\right)\) Ta gọi góc nhọn giữa d và d' là \(\phi\) thì ta có: \(\cos\phi=\frac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\left|\left(-1\right).1+1.1+\left(-1\right)\right|.1}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\)
Tìm đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng xác định bởi \(\begin{cases}x=-1\\y+z=0\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=1\\y-2z=0\end{cases}\) ? Trục Ox Trục Oy Trục Oz Đường thẳng \(y=x=z\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng thứ nhất là giao của mặt phẳng x=-1 và mặt y + z =0, vậy nên nó nằm trên mặt x=-1. Tương tự đường thẳng thứ hai nằm trên mặt x=1. Hai mặt x = 1 và x = -1 song song với nhau và Ox là đường vuông góc với hai mặt này. Mặt khác đường Ox (có phương trình \(\begin{cases}y=0\\z=0\end{cases}\)) đều cắt hai đường đã cho. Vậy Ox là đường cắt và vuông góc với 2 đường thẳng đã cho.
Cho đường thẳng d có phương trình \(x-1=\frac{y}{2}=z\) và đường thẳng d' có phương trình tham số \(x=t;y=-2t+2;z=t-1\). Chọn câu đúng ? Có đúng một đường cắt và vuông góc với cả d và d' Không có đường thẳng nào cắt và vuông góc với cả d và d' Có vô số đường thẳng cắt và vuông góc với cả d và d' Có đúng hai đường thẳng cắt và vuông góc với cả d và d' Hướng dẫn giải: Ta có nhận xet: - Nếu hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng đó. - Nếu hai đường thẳng cát nhau thì có duy nhất một đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng đó - Nếu hai đường thẳng song song thì có vô số đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng đó. - Nếu hai đường thẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng đó. Ta có: + đường thẳng \(x-1=\frac{y}{2}=z\) có thể viết dạng: \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-0}{1}\) nên nó đi qua điểm (1;0;0) và có vecto. chỉ phương là (1;2;1). + đường thẳng \(\begin{cases}x=t\\y=-2t+2\\z=t-1\end{cases}\) đi qua (0;2;-1) và có vecto chỉ phương là (1;-2-1). Hai đường thẳng không song song vì hai vecto chỉ phương không cùng phương, vậy chúng chéo nhau hoặc cát nhau => Chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng đó.
Cho 2 đường thẳng d và d' xác định bởi phương trình \(\begin{cases}z=0\\x-y+1=0\end{cases}\) và \(\begin{cases}z=0\\x-y-1=0\end{cases}\) . Chọn câu đúng ? Có đúng một đường cắt và vuông góc với cả d và d' Không có đường thẳng nào cắt và vuông góc với cả d và d' Có vô số đường thẳng cắt và vuông góc với cả d và d' Có đúng hai đường thẳng cắt và vuông góc với cả d và d' Hướng dẫn giải: Dễ thấy hai đường thẳng đã cho đều có dạng giao của 2 mặt phẳng. Nhìn vào phương trình ta thấy hai đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng z=0, và trên mặt phẳng đó hai đường thẳng có phương trình là x-y+1=0 và x-y-1=0 (sai khác hệ số c) nên hai đường thẳng này song song với nhau. Vì vậy có vô số đường thẳng cắt và vuông góc với d và d'.
Cho hai đường thẳng d, d' xác định bởi \(d_1:\begin{cases}z=0\\x+y=2\end{cases}\) và \(d_2:\begin{cases}z=1\\x-y=0\end{cases}\). Tìm đường thẳng cắt và và vuông góc với cả d và d' ? \(\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}\) \(\begin{cases}x=0\\y=z\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1\\y=z\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng thứ nhất nằm trên mặt phẳng z=0 (mặt phẳng Oxy), đường thẳng thứ hai nằm trên mặt phẳng z=1 và hai mặt phẳng z=0 và z=1 song song với nhau. Oz là đường vuông góc với cả hai mặt phẳng này nên Oz vuông góc với 2 đường thẳng đã cho. Trên mặt phẳng z=0 ta vẽ đường \(d_2':x-y=0\) thì \(d_2'\)//\(d_2\) . Dễ thấy \(d_2'\) cắt \(d_1\) tại điểm (1;1). Từ điểm (1;1) này kẻ đường song song với Oz ta sẽ được đường thẳng cắt và vuông góc với \(d_1\) và \(d_2\). Vậy đường thẳng đó là: \(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)
Chọn câu đúng ? Quỹ tích các điểm cách đều hai trục Ox, Oy là một mặt phẳng Quỹ tích các điểm cách đều hai trục Ox, Oy là một đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều hai trục Ox, Oy là hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Xem hình vẽ, các điểm cách đều hai trục Ox và Oy là hai mặt phân giác P và Q của góc trong và ngoài góc xOy
Cho hai đường thẳng d và d' xác định bởi \(\begin{cases}x-1=0\\z=0\end{cases}\) và \(\begin{cases}x+1=0\\z=0\end{cases}\). Chọn câu đúng ? Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng đó là một mặt phẳng Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng đó là một đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng đó là hai đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng đó là hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Hai đường thẳng cùng nằm trên mặt z=0 và hai đường thẳng đó song song với nhau (xem hình vẽ). Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng song song là mặt phẳng zOy.
Cho điểm A=(0;0;;2), đường thẳng d có phương trình \(2x=y=z\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\z=0\end{matrix}\right.\). Tìm tọa độ của điểm N thuộc đường thẳng d' sao cho đường thẳng AN cắt đường thẳng d tại một điểm. \(N=\left(0;3;0\right)\) \(N=\left(2;1;0\right)\) \(N=\left(1;2;0\right)\) Không có điểm N như thế. Hướng dẫn giải: Lấy điểm M thuộc đường thẳng d thì M(a;2a;2a). Ta cần tìm a sao cho AM cắt d' tại N. Phương trình tham số của đường thẳng AM là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=at\\y=2at\\z=2+\left(2a-2\right)t\end{matrix}\right.\) (*) Để AM cắt d' thì thay (*) vào d' thì hệ sau phải có nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}at+2at-3=0\\2+\left(2a-2\right)t=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=2\\a=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) Giao điểm N có tọa độ là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=at=1\\y=2at=2\\z=2+\left(2a-2\right)t=0\end{matrix}\right.\) Hay là N(1;2;0)
