Cho điểm A=(1;1;4), đường thẳng d xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x-z-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) và đường thẳng d' xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\). Tìm tọa độ của điểm M thuộc đường thẳng d' sao cho đường thẳng AM cắt đường thẳng d tại một điểm. \(M=\left(-2;1;1\right)\) \(M=\left(2;-1;1\right)\) \(M=\left(-4;2;1\right)\) Không có điểm M như thế. Hướng dẫn giải: M là giao của mặt phẳng (d,A) với đường thẳng d'. Tham số hóa đường thẳng d như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1\\z=x-1=-1+t\end{matrix}\right.\) Vậy d đi qua B(0;1;-1) và có vecto chỉ phương là (1;0;1). Mặt phẳng (d,A) đi qia A(1;1;4) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(0-1;1-1;-1-4\right)=\left(-1;0;-5\right)\) và \(\overrightarrow{d}=\left(1;0;1\right)\) là hai vecto chỉ phương. Pháp tuyến của (d,A) là: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{d}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-5\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&-1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&0\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(0;-4;0\right)=-4\left(0;1;0\right)\) Vậy phương trình của (d,A) là: \(0\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)+0\left(z-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow y-1=0\) Giao của (d,A) với đường thẳng d' là nghiệm của hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=0\\z-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\) Hay giao của (d,A) với d' là điểm M(-2;1;1). Khi đó đường thẳng AM có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{AM}=\left(-2-1;1-1;1-3\right)=-3\left(1;0;1\right)\) trùng với vacto chỉ phương của d nên AM không cắt d.
Tìm tọa độ hình chiếu của điểm \(M=\left(2;0;1\right)\) trên đường thẳng có phương trình \(x=y=z\). \(\left(1;1;1\right)\) \(\left(2;2;2\right)\) \(\left(3;3;3\right)\) \(\left(0;0;0\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi điểm H trên đường thẳng d: \(x=y=z\) thì tọa độ H có dạng: \(H=\left(x;x;x\right)\). Ta có thêm điều kiện: \(MH\perp d\) (chú ý: d có thể viết dạng chính tắc: \(\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{z-0}{1}\) nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{d}=\left(1;1;1\right)\)) Suy ra: \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{d}=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-2;x;x-1\right).\left(1;1;1\right)=0\) \(\Leftrightarrow x-2+x+x-1=0\) \(\Leftrightarrow x=1\) Vậy H(1;1;1).
Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(x=y=z\). Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm \(\left(1;2;-1\right)\) qua đường thẳng \(\Delta\). \(\left(-1;2;1\right)\) \(\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{-5}{3}\right)\) \(\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3}\right)\) \(\left(1;-1;2\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi điểm đã cho là \(M\left(1;2;-1\right)\), đường thẳng đã cho \(\Delta\) là : \(x=y=z\). \(\Delta\) có thể viết lại: \(\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{z-0}{1}\) nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{d}=\left(1;1;1\right)\). Trước hết ta tìm chân hình chiếu H của M lên d, H có tọa độ dạng \(H=\left(x;x;x\right)\) và \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{d}=0\). Suy ra: \(\left(x-1;x-2;x+1\right).\left(1;1;1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right).1+\left(x-2\right).1+\left(x+1\right).1=0\) \(x=\dfrac{2}{3}\) Vậy \(H=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)\). Điểm đối xứng M'(x;y;z) của M qua \(\Delta\) thì ta có: \(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{HM'}\) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}-1;\dfrac{2}{3}-2;\dfrac{2}{3}+1\right)=\left(x-\dfrac{2}{3};y-\dfrac{2}{3};z-\dfrac{2}{3}\right)\) \(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}\right)\)
Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình x = y = z và đường thẳng d xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x+z-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\). Tính khoảng cách giữa \(\Delta\) và d. \(\dfrac{2}{\sqrt{6}}\) \(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\) \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) chứa d và song song với d' là: \(x-2y+z=0\). Điểm \(M\left(1;-1;0\right)\) thuộc d'. Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) là khoảng cách cần tìm. D(M;(P)) \(=\dfrac{\left|1-2.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C'. \(\sqrt{3}a\) \(a\) \(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\) \(\sqrt{2}a\) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm BD, gọi N là trung điểm A'C'. Ta có ngay \(MN\perp BD;MN\perp A'C'\) Vậy nên \(MN=d\left(BD;A'C'\right)=a\)
