Trong hệ tọa độ Oxyz biết A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. M ( 2, 3, -7) M(-2, -3, 7) M( 0, -1, 1) M (2, 3, 7) Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y, z ) Ta có: \(\begin{cases}MA=MB\\MB=MC\\M\in\left(P\right)\end{cases}\) MA = M B \(\Leftrightarrow\left(x-0\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2\) \(\Leftrightarrow2x-3y-z-2=0\). MA = MC \(\Leftrightarrow\left(x-0\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-0\right)+\left(z-1\right)^2\) \(\Leftrightarrow2x+y+z=0\) Ta có hệ phương trình: \(\begin{cases}2x-3y-z-2=0\\2x+y+z=0\\2x+2y-z+3=0\end{cases}\) Từ phương trình thứ hai của hệ rút ra \(z=-2x-y\) rồi thay vào hai phương trình còn lại: \(\begin{cases}2x-3y+2x+y-2=0\\2x+2y+2x+y+3=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}4x-2y-2=0\\4x+3y+3=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}\) => \(z=-2x-y=-2.0-\left(-1\right)=1\) Vậy \(\begin{cases}x=0\\y=-1\\z=1\end{cases}\) Vậy M ( 0, -1, 1).
Trong hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng \(ABC.DEF\) biết A (0; 0; 0 ), B( 2; 0; 0 ), C ( 0; 2; 0), D ( 0; 0; 2 ). Viết phương trình mặt phẳng (ABF). y - z = 0 y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 1 Hướng dẫn giải: Gọi F ( x , y, z ) \(\overrightarrow{AD}\left(0;0;2\right)\) và \(\overrightarrow{CF}\left(x,y-2,z\right)\) Vì \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CF}\) nên \(\begin{cases}x=0\\y-2=0\\z=2\end{cases}\) Từ đó suy ra F (0; 2; 2 ) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, F là mặt phẳng đi qua A(0;0;0) và có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}\right]=\left[\left(2;0;0\right),\left(0;2;2\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}0&0\\2&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&2\\2&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(0;-4;4\right)=-4\left(0;-1;1\right)\) Vậy phương trình (ABF) là -y + z = 0 hay là y - z = 0.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGK. Biết A trùng với gốc tọa độ, B(0; a; 0), D(a; 0; 0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG, (a,b >0). Xác định tỉ số của a và b để mặt phẳng (EBD) vuông góc với mặt phẳng (MBD). \(\frac{a}{b}=1\) \(\frac{a}{b}=2\) \(\frac{a}{b}=4\) \(\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) C(a;a;0) E(0;0;b) G(a;a;b) do M là trung điểm của CG nên \(M\left(a,a,\frac{b}{2}\right)\). Mặt phẳng ( EBD) có VTPT: \(\left[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE}\right]=\left[\left(a;-a;0\right),\left(0;-a;b\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}-a&0\\-a&b\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&a\\b&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a&-a\\0&-a\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(-ab,-ab,-a^2\right)=-a\left(b,b,a\right)\) Mặt phẳng (MBD) có VTPT: \(\left[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BM}\right]=\left[\left(a;-a;0\right),\left(a;0;\frac{b}{2}\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}-a&0\\0&\frac{b}{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&a\\\frac{b}{2}&a\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a&-a\\a&0\end{matrix}\right|\right)\), \(=\left(-\frac{ab}{2};-\frac{ab}{2};a^2\right)=-\frac{a}{2}\left(b;b;-2a\right)\). Hai mặt phẳng ( EBD ) và ( MBD) vuông góc với nhau nên tích vô hướng của hai vec tơ pháp tuyến bằng 0. b.b + b.b +a (-2a) = 0 \(\Leftrightarrow a^2=b^2\) Do a > 0, b > 0 nên \(\frac{a}{b}=1.\)
Cho 4 điểm A(1;-2;0), B(0;-1;-1); C(2;1;-1), D(3;1;4). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 4 điểm đó? Có 1 mặt phẳng Có 4 mặt phẳng Có 7 mặt phẳng Có vô số mặt phẳng Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C là phương trình đi qua A và nhận \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) làm vec tơ chỉ phương. => (ABC) đi qua A và có vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\). Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;1\right)\) \(\overrightarrow{AC}=\left(1;3;-1\right)\) => \(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-1\\-1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&1\\1&3\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(-4;0;-4\right)\) => (ABC) có phương trình: \(-4\left(x-1\right)-4z=0\) \(\Leftrightarrow x+z-1=0\) Thay độ độ D(3;1;4) vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: 3 + 4 - 1 \(\ne0\) nên \(D\notin\left(ABC\right)\). Tức A, B, C, D không đồng phẳng. Ta chia các mặt phẳng cách đều bốn điểm thành 2 loại: - Loại 1: phân cách 1 điểm với 3 điểm còn lại (D và (ABC); C và (ABD); B và (ACD); A và (BCD)): có 4 mặt phẳng - Loại 2: phân cách 2 điểm với 2 điểm còn lại (AB và CD; AD và BC; AC và BD): có 3 mặt phẳng Vậy có 7 mặt phẳng
Cho tứ diện ABCD có \(A\left(3;-2;1\right);B\left(-4;0;3\right);C\left(1;4;-3\right);D\left(2;3;5\right)\). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là : \(12x+10y+21z+35=0\) \(12x-10y+21z-35=0\) \(12x-10y-21z-35=0\) \(12x+10y-21z+35=0\) Hướng dẫn giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm \(M\left(3;0;-1\right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(x+2y-z+1=0\) và \(2x-y+z-2=0\) là : \(x-3y-5z-8=0\) \(x-3y+5z-8=0\) \(x+3y-5z+8=0\) \(x+3y+5z+8=0\) Hướng dẫn giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left(2;-1;1\right);B\left(-2;1;-1\right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(3x+2y-z+5=0\) là : \(x+5y+7z-1=0\) \(x-5y+7z+1=0\) \(x-5y-7z=0\) \(x+5y-7z=0\) Hướng dẫn giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(2x-y+3z+4=0\) và \(x+3y-2z+7=0\), chứa điểm M(-1;2;4) là : \(x+10y-9z+17=0\) \(x-10y+9z+17=0\) \(x-10y-9z-17=0\) \(x+10y+9z-17=0\) Hướng dẫn giải:
Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+5y+z-10=2\) và \(\left(\beta\right):2x+y-z+1=0\). Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến \(\left(\alpha\right)\&\left(\beta\right)\) qua điểm M(3;-2;1) là : \(3x+3y-z-2=0\) \(3x+3y+z-2=0\) \(3x+3y-z+2=0\) \(3x-3y+z+2=0\) Hướng dẫn giải:
Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+5y-2z+1=0;\left(\beta\right):2x-y+z+4=0\). Gọi \(\varphi\) là góc nhọn tạo bởi \(\left(\alpha\right)\&\left(\beta\right)\) thì giá trị đúng của \(\cos\varphi\) là : \(\frac{5}{6}\) \(\frac{\sqrt{5}}{6}\) \(\frac{\sqrt{6}}{5}\) \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) Hướng dẫn giải:
