Ba mặt phẳng : \(x+2y-z-6=0\) \(2x-y+3z+13=0\) \(3x-2y+3z+16=0\) cắt nhau tại một điểm A. Tọa độ của điểm A là : A (1;2;3) A (1;-2;3) A (-1;-2;3) A (-1;2;-3) Hướng dẫn giải:
Ba mặt phẳng : \(2x+y-z-1=0;3x-y-z+2=0;4x-2y+z-3=0\) cắt nhau tại một điểm A. Tọa độ của A là : A (1;-2;3) A (1; -2; -3) A (1;2;3) A (-1;2;3) Hướng dẫn giải:
Ba mặt phẳng \(x+2y+4z-2=0;2x+3y-2z+3=0;2x-y+4z+8=0\). Cắt nhau tại một điểm A Tọa độ A là : \(A\left(4;-2;\frac{1}{2}\right)\) \(A\left(-4;2;-\frac{1}{2}\right)\) \(A\left(-4;2;\frac{1}{2}\right)\) \(A\left(4;2;\frac{1}{2}\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho 3 mặt phẳng : \(\left(\alpha\right):x-2z=0\) \(\left(\beta\right):3x-2y+z-3=0\) \(\left(\gamma\right):x-2y+z+5=0\) Mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) vuông góc với \(\left(\gamma\right)\) có phương trinh tổng quát : \(11x+2y-15z+3=0\) \(11x-2y-15z-3=0\) \(11x+2y+15z-3=0\) \(11x-2y+15z+3=0\) Hướng dẫn giải:
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A=\left(1;1;1\right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(x+y-z=2\) và \(x-y+z=1\) ? \(x+y+z=3\) \(y+z=2\) \(x+z=2\) \(2y-z-x=0\) Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng cho trước là: \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;-1\right)\) và \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;1\right)\) Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng này sẽ lấy 2 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) làm vecto chỉ phương. Vậy mặt phẳng cần tìm có vecto pháp tuyến là: \(\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-1\\-1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right|\right)=\left(0;-2;-2\right)=-2.\left(0;1;1\right)\) Phương trình mặt phẳng đi qua A(1;1;1) và có vecto pháp tuyến (0;1;1) là: \(0.\left(x-1\right)+1.\left(y-1\right)+1.\left(z-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow y+z=2\)
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x-y-2z+1=0\). Tính côsin của góc giữa (P) với mặt phẳng tọa độ (Oxy). \(1\) \(0\) \(\dfrac{2}{3}\) \(-\dfrac{2}{3}\) Hướng dẫn giải: Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai vecto pháp tuyến. \(\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;-2\right)\) \(\overrightarrow{n_{\left(Oxy\right)}}=\left(0;0;1\right)\) \(\cos\left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_{Oxy}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_{Oxy}}}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|\left|\overrightarrow{n_{Oxy}}\right|}=\dfrac{2.0-1.0-2.1}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\dfrac{-2}{3}\) Góc giữa hai pháp tuyến âm nên hai pháp tuyến tạo thành góc tù, góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn bù với góc giữa hai pháp tuyến nên có côsin bằng \(\dfrac{2}{3}\) .
Cho hai mặt phẳng có phương trình \(x+y+z+1=0\) và \(2x-y-z-1=0\). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng đó. \(1\) \(0\) \(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) Hướng dẫn giải: Hai vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;1\right)\) , \(\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1;-1\right)\). Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn giữa hai vecto pháp tuyến. Côsin của góc giữa hai pháp tuyến như sau: \(\cos\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)=\dfrac{1.2-1.1-1.1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=0\)
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x+3y-2z+1=0\) và mặt phẳng (Q) có phương trình \(x+y+2z-1=0\). Trong các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng (Q), xác định mặt phẳng tạo với (P) góc có số đo lớn nhất. Mặt phẳng (Oxy) Mặt phẳng (Oyz) Mặt phẳng (Ozx) Mặt phẳng (Q) Hướng dẫn giải: Pháp tuyến của (P): \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;3;-2\right)\) Pháp tuyến của (Q): \(\overrightarrow{n_Q}=\left(1;1;2\right)\) + Góc giữa (P) và (Q) có cosin bằng: \(\cos\left(P,Q\right)=\dfrac{\left|1.1+3.1-2.2\right|}{\sqrt{1^2+3^2+\left(-2\right)^2}\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=0\) Vậy (P) và (Q) tạo với nhau góc 90 độ và góc 90 độ là góc lớn nhất giữa hai mặt phẳng. Chú ý: Nếu góc giữa hai pháp tuyến của hai mặt phẳng mà âm thì hai vecto pháp tuyến tạo thành 1 góc tù nhưng góc giữa hai mặt phẳng phải là góc nhọn bù với góc giữa hai vecto pháp tuyến.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có \(S=\left(0;0;\sqrt{2}\right)\) , \(A\left(1;1;0\right)\), \(B\left(-1;1;0\right)\), \(C=\left(-1;-1;0\right)\), \(D=\left(1;-1;0\right)\). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (SAB) có là mặt đi qua \(S\left(0;0;\sqrt{2}\right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=\left[\left(1;1;-\sqrt{2}\right),\left(-1;1;-\sqrt{2}\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-\sqrt{2}\\1&-\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-\sqrt{2}&1\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(0;2\sqrt{2};2\right)\) Vậy phương trình mặt phẳng (SAB) là: \(0\left(x-0\right)+2\sqrt{2}\left(y-0\right)+2\left(z-\sqrt{2}\right)=0\) \(\Leftrightarrow2\sqrt{2}y+2z-2\sqrt{2}=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}y+z-\sqrt{2}=0\) Tương tự, phương trình mặt phẳng (SCD) là: \(-\sqrt{2}y+z-\sqrt{2}=0\) Côsin giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) tính theo côsin của hai vecto pháp tuyến \(\left(0;\sqrt{2};1\right),\left(0;-\sqrt{2};1\right)\) và bằng: \(Côsin=\dfrac{\left|0.0-\sqrt{2}\sqrt{2}+1.1\right|}{\sqrt{0^2+\sqrt{2}^2+1^2}\sqrt{0^2+\left(-\sqrt{2}\right)^2+1^2}}=\dfrac{1}{3}\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A=\left(2;1;2\right),B\left(1;2;-1\right)\)và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy). \(2y+z-4=0\) \(y-2z+3=0\) \(2x+2y-4=0\) \(x+y-3=0\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng vuông góc với (Oxy) nên mặt phẳng đó có 1 vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của (Oxy). Vecto pháp tuyến của (Oxy) là \(\overrightarrow{z}=\left(0;0;1\right)\). Mặt khác, mặt phẳng đi qua A, B nên có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(1-2;2-1;-1-2\right)=\left(-1;1;-3\right)\). Suy ra mặt phẳng cần tìm có vecto pháp tuyến là: \(\left[\overrightarrow{z},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&1\\1&-3\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}1&0\\-3&-1\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}0&0\\-1&1\end{matrix}\right|\right)=\left(-1;-1;0\right)\) Phương trình mặt phẳng đi qua A(2;1;2) và có vecto pháp tuyến (-1;-1;0) là: \(-1\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)+0\left(z-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow-x-y+3=0\) \(\Leftrightarrow x+y-3=0\)
