Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 2 ; -1) , B(2; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng có phương trình \(2x+y-2z-1=0\). \(x+y-3=0\) \(2y+z+3=0\) \(2y+z-3=0\) Không có mặt phẳng (P) như thế. Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 2 vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{AB}\) và vecto pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc: \(\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right)\) Vậy mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left[\left(2-1;1-2;1+1\right),\left(2;1;-2\right)\right]=\left[\left(1;-1;2\right),\left(2;1;-2\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}-1&2\\1&-2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\-2&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right|\right)=\left(0;6;3\right)=3\left(0;2;1\right)\) Phương trình (P) đi qua A(1;2;-1) và có vecto pháp tuyến (0;2;1) là: \(0\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)+\left(z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow2y+z-3=0\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;-1) vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình \(2x+y=0\) và \(x=z+1\). \(x-2y-2z-1=0\) \(x-2y+z+4=0\) \(2x-y-z-1=0\) \(x+y+z-2=0\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai mặt phẳng đã cho nên nhận các vecto pháp tuyến của chúng là vecto chỉ phương. Suy ra vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là: \(\left[\left(2;1;0\right),\left(1;0;-1\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&2\\-1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(-1;2;-1\right)\) Phương trình mặt phẳng đi quan A(1;2;-1) và có vecto pháp tuyến (-1;2;-1) là: \(-1\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)-\left(z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow-x+2y-z-4=0\) \(\Leftrightarrow x-2y+z+4=0\)
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x+2y-z-6=0\). Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB với \(A\left(3;-1;-4\right)\) và \(B\left(-1;5;2\right)\). \(x+2y-z-3=0\) \(x+2y-z-2=0\) \(x+2y-z-1=0\) Không có mặt phẳng như thế. Hướng dẫn giải: Trung điểm I của AB là: \(I=\left(\dfrac{3-1}{2};\dfrac{-1+5}{2};\dfrac{-4+2}{2}\right)=\left(1;2;-1\right)\) Đễ thấy điểm I thỏa mãn phương trình (P) nên I nằm trên (P). Vậy không có mặt phẳng song song với (P) và đí qua I.
