Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngan. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng \(\dfrac{11}{630}\) \(\dfrac{1}{126}\) \(\dfrac{1}{105}\) \(\dfrac{1}{42}\) Hướng dẫn giải: \(\left|\Omega\right|=10!\) cách xếp. Gọi A là biến cố: " Trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau". Ta có các cách xếp như sau: - Đầu tiên xếp 5 học sinh của lớp 12C, có 5! cách xếp. - Khi đó giữa học sinh lớp 12C có 6 chỗ trống (gồm 4 chỗ trống giữa và 2 chỗ trước sau). Do 2 học sinh của lớp 12C không thể đứng gần nhau nên buộc phải có 4 người lớp khác. Ta xét hai trường hợp: +) TH1: Có 1 học sinh lớp 12A hoặc 12B ở phía ngoài, 4 học sinh còn lại xếp vào 4 chỗ trống ở giữa các bạn lớp 12C, có 2.5! cách xếp. +)TH2: Có một cặp học sinh lớp 12A và 12B vào một chỗ trống, 3 học sinh còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại, có 2,3,2,4,3! cách xếp. Vậy \(\left|A\right|=5!\left(2.5!+2.3.2.4.3!\right)\) \(P\left(A\right)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{5!\left(2.5!+2.3.2.4.3!\right)}{10!}=\dfrac{11}{630}\)
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;17]. Xác suất để ba số được viết ta có tổng chia hết cho 3 bằng \(\dfrac{1079}{4913}\) \(\dfrac{23}{68}\) \(\dfrac{1728}{4913}\) \(\dfrac{1637}{4913}\) Hướng dẫn giải: Trong dãy các số tự nhiên từ 1 tới 17, ta chia thành các nhóm: + Nhóm (I): 5 số chia hết cho 3. + Nhóm (II): 6 số chia cho 3 dư 1. + Nhóm (III): 6 số chia cho 3 dư 2. Khi viết 3 số, để có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra một trong các trường hợp sau: TH1: 3 số thuộc nhóm (I): Có \(5.5.5=125\) cách. TH2: 1 số thuộc nhóm (I), 1 số thuộc nhóm (II), 1 số thuộc nhóm (III): Có \(5.6.6.2+6.5.6.2+6.6.5.2=1080\) (cách) TH3: 3 số thuộc nhóm (III): Có \(6.6.6=216\) (cách) TH4: 3 số thuộc nhóm (II): Có \(6.6.6=216\) (cách) Vậy có tổng số cách là: \(125+1080+216+216=1637\) (cách) \(\Rightarrow P=\dfrac{1637}{17.17.17}=\dfrac{1637}{4913}\)