Cho \(y=x^3-3(m+1)x^2+9x-m\). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn $\left|x_1-x_2 \right|=4$. $m=-1\pm\sqrt{7}$ $m=-1\pm\sqrt{6}$ $m=-1\pm\sqrt{5}$ $m=-1\pm\sqrt{4}$ Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9=3\left[x^2-2\left(m+1\right)x+3\right]\) ĐK để y đạt cực trị tại hai điểm là y' có 2 nghiệm phân biệt. y' là hàm tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta>0\), hay là phương trình: \(x^2-2\left(m+1\right)x+3=0\) có hai nghiệm. Điều kiện là: \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-3>0\) (1) Khi đó y có hai điểm cực trị \(x_1;x_2\) là nghiệm của y'. Theo định lý Vi-et ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\) Để \(\left|x_1-x_2\right|=4\) thì \(\left(x_1-x_2\right)^2=16\), hay là \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16\) => \(\left[2\left(m+1\right)\right]^2-4.3=16\) => \(4\left(m+1\right)^2=28\) => \(\left(m+1\right)^2=7\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}m=\sqrt{7}-1\\m=-\sqrt{7}-1\end{array}\right.\) Cả hai giá trị này của m đều thỏa mãn (1)
Cho $y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-m^3+5m$. Biết rằng với mọi $m$, hàm số luôn có hai điểm cực trị $A,B$. Độ dài của $AB$ bằng: $AB=\sqrt{20}$ $AB=\sqrt{18}$ $AB=\sqrt{22}$ $AB=\sqrt{24}$ Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)=3\left[x^2-2mx+m^2-1\right]\) Tam thức \(x^2-2mx+m^2-1\) có \(\Delta'=m^2-m+1=1\) nên có hai nghiệm phân biệt là \(m-1\) và \(m+1\) Vậy y' có hai nghiệm phân biệt => y có hai điểm cực trị tại x = m - 1 và x = m + 1. Tọa độ hai điểm cực trị là: - Với \(x=m-1\) thì \(y=\left(m-1\right)^3-3m\left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\left(m-1\right)-m^3+5m=2m+2\). Vậy ta có điểm \(A\left(m-1;2m+2\right)\) - Với \(x=m+1\) ta tìm được \(y'=\left(m+1\right)^3-3m\left(m+1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\left(m+1\right)-m^3+5m=2m-2\). Vậy ta có điểm \(B\left(m+1;2m-2\right)\). Khoảng cách AB tính theo công thức \(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\) \(AB=\sqrt{\left(m+1-m+1\right)^2+\left(2m+2-2m+2\right)^2}\) \(=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\).
Tìm giá trị cực đại \(y_{CĐ}\) của hàm số \(y=x^3-3x+2\) \(y_{CĐ}=4\) \(y_{CĐ}=1\) \(y_{CĐ}=0\) \(y_{CĐ}=-1\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-3\) \(y''=6x\) Ta có: y' = 0 khi x = 1 hoặc x = -1 Với x = 1 thì \(y''=6\) => y đạt cực tiểu tại x = 1 Với x = -1 thì \(y''=-6\) => y đạt cực đại tại x = -1, khi đó \(y_{CĐ}=\left(-1\right)^3-3.\left(-1\right)+2=4\)
Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số \(y=x^4+2mx^2+1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. \(m=-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\) \(m=-1\) \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\) \(m=1\) Hướng dẫn giải: \(y'=4x^3+4mx=4x\left(x^2+m\right)\) Để y có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân thì điều kiện cần là y' có ba nghiệm phân biệt => m < 0. Khi đó y' có ba nghiệm là \(0;-\sqrt{-m};\sqrt{-m}\) và toạ độ ba điểm cực trị là: - Thay x = 0 vào y ta được y = 1 => \(A\left(0;1\right)\) - Thay \(x=-\sqrt{-m}\) vào y ta có \(y=\left(-\sqrt{-m}\right)^2+2m\left(-\sqrt{-m}\right)^2+1=-m^2+1\) => \(B\left(-\sqrt{-m};-m^2+1\right)\) - Thay \(x=\sqrt{-m}\) vào y ta có \(y=\left(\sqrt{-m}\right)^2+2m\left(\sqrt{-m}\right)^2+1=-m^2+1\) => \(C\left(\sqrt{-m};-m^2+1\right)\) Dễ thấy A nằm trên trục tung; B và C đối xứng nhau qua trục tung. Vậy tam giác ABC cân tại A và để nó là tam giác vuông thì vuông tại A, điều kiện là: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) <=> \(\left(-\sqrt{-m};-m^2\right).\left(\sqrt{-m};-m^2\right)=0\) <=> \(-\left(-m\right)+m^4=0\) <=> \(m^4+m=0\) <=> \(m\left(m^3+1\right)=0\) m = 0 (loại) hoặc m = -1 (thoả mãn). Vậy m = -1
Cho hàm số \(y=\frac{x^3}{3}-\left(m-2\right)x^2+\left(4m-8\right)x+m+1\). Để hàm số đạt cực trị tại các điểm \(x_1;x_2\), thoả mãn \(x_1< -2< x_2\), giá trị thích hợp của m là : \(m< 2\) hay \(m>6\) \(2< m< 6\) \(\frac{3}{2}< m< 2\) \(m< \frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^3}{3}-\left(m-2\right)x^2+\left(4m-8\right)x+m+1\) \(\Rightarrow y'=x^2-2\left(m-2\right)x+4m-8=g\left(x\right)\) \(y'\) có \(\Delta'=m^2-4m+4-4m+8=m^2-8m+12\) Để có cực trị thì \(m^2-8m+12>0\) Để hai điểm cực trị \(x_1;x_2\) thoả mãn \(x_1< -2< x_2\) thì \(g\left(-2\right)< 0\) \(g\left(-2\right)=4+4\left(m-2\right)+4m-8< 0\) \(\Leftrightarrow8m-12< 0\) \(\Leftrightarrow m< \frac{3}{2}\) Điều kiện \(g\left(-2\right)< 0\) đảm bảo \(\Delta'>0\) Vậy chọn (D)
Cho hàm số \(y=x^4-8ax^3+6\left(a+2\right)x^2+4\). Để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại, giá trị thích hợp của tham số a là : \(a>1\) \(a< -\frac{2}{3}\) \(-\frac{2}{3}\le a\le1\) Hướng dẫn giải: \(y=x^4-8ax^3+6\left(a+2\right)x^2+4\) \(y'=4x^3-24ax^2+12\left(a+2\right)x=4x\left[x^2-6ax+3\left(a+2\right)\right]\) Tam thức \(x^2-6ax+3\left(a+3\right)\) có \(\Delta'=9a^2-3a-6\) Nếu \(\Delta'\le0\) thì hàm số chỉ có một điểm cực tiểu là \(x=0\) \(9x^2-3a-6\le0\Leftrightarrow-\frac{2}{3}\le a\le1\) Vậy chọn (C) \(-1\le a\le\frac{2}{3}\)
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}mx^3-\left(m-1\right)x^2+3\left(m-2\right)x+1\) Để hàm số đạt cực trị tại \(x_1;x_2\) thoả mãn \(x_1+2x_2=1\) thì giá trị cần tìm của m là : \(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{3}\) \(m=-2\) hoặc \(m=-\frac{2}{3}\) \(m=1\) hoặc \(m=\frac{3}{2}\) \(m=-1\) hoặc \(m=-\frac{3}{2}\)
Cho hàm số \(y=x^3+mx^2+1,m\ne0\), luôn tồn tại đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và (d) có phương trình : \(y=-\frac{2m}{3}x+1\) \(y=-\frac{2m^2}{9}x+1\) \(y=\frac{2m}{3}x-1\) \(y=\frac{2m^2}{9}x-1\) Hướng dẫn giải: \(y=x^3+mx^2+1,m\ne0\Rightarrow y'=3x^2+2mx\) Chia y cho y' ta được kết quả : \(\frac{x}{3}+\frac{m}{9}\) dư \(1-\frac{2m^2}{9}x\) Qua phép chia, viết lại : \(y=\left(\frac{x}{3}+\frac{m}{9}\right)f'\left(x\right)-\frac{2m^2}{9}x+1\) Tọa độ 2 điểm cực đại và cực tiểu đều thỏa mãn phương trình \(y=-\frac{2m^2}{9}x+1\) Đây là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của hàm số Vậy chọn (B)
Hàm số \(y=f\left(x\right)=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\) Tìm kết luận sai ? Với mọi m, y luôn có cực đại và cực tiểu Đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn vuông góc với đường thẳng \(x-2y=0\) Đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn đi qua điểm uốn của \(\left(C_m\right)\) Với mọi m, \(\left(C_m\right)\) luôn cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Cho hàm số \(y=\frac{x^2-2mx+m+2}{x-m}\) Để hàm số có cực đại và cực tiểu, điều kiện cho tham số m là : \(m< -1\) hay \(m>2\) \(-1< m< 2\) \(m< -2\) hay \(m>1\) \(-2< m< 1\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^2-2mx+m+2}{x-m}\Rightarrow y'=\frac{x^2-2mx+2m^2-m-2}{\left(x-m\right)^2};\left(x\ne0\right)\) \(y'=0\Leftrightarrow x^2-2mx+2m^2-m-2=0\) Vế trái là tam thức bậc hai có \(\Delta'=m^2-2m^2+m+2=-m^2+m+2\) Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì : \(-m^2+m+2>0\Leftrightarrow-1< m< 2\) Vậy chọn (B)
