Cho hàm số : \(y=f\left(x\right)=\frac{\left(m-1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m+4}{m\left(x+1\right)}\) Để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau, điều kiện cho tham số m là : \(-\frac{1}{4}< m< 1\) \(m< -\frac{1}{4}\) hay \(m>1\) \(-1< m< \frac{1}{4}\) \(m>1\) Hướng dẫn giải: \(y=f\left(x\right)=\frac{\left(m-1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m+4}{m\left(x+1\right)}\) \(\Rightarrow y'=\frac{\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-\left(3m+2\right)}{m\left(x+1\right)}\) Với \(m\ne1;m\ne0\) \(y'=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-\left(3m+2\right)=0\) (*) Tam thức ở vế trái có : \(\Delta'=4m^2-3m-1\) Để y có cực đại và cực tiểu thì \(m< -\frac{1}{4}\) hay \(m>1\) \(\frac{u'}{v}=2\left(m-1\right)x-2\left(m-1\right)=2\left(m-1\right)\left(x-1\right)\) \(y_{CĐ}=2\left(m-1\right)\left(x_{CĐ}-1\right)\) \(y_{CT}=2\left(m-1\right)\left(x_{CT}-1\right)\) \(y_{CĐ}.y_{CT}=4\left(m-1\right)^2\left[x_{CĐ}.x_{CT}-\left(x_{CĐ}+x_{CT}\right)+1\right]\) Từ (*) có \(x_{CĐ}+x_{CT}=-2;x_{CĐ}.x_{CT}=\frac{-\left(3m+2\right)}{m-1}\) \(\Rightarrow y_{CĐ}.y_{CT}=4\left(m-1\right)\left[\frac{-\left(3m+2\right)}{m-1}+3\right]=4\left(m-1\right)^2\frac{\left(-5\right)}{\left(m-1\right)}\) \(=-20\left(m-1\right)\) Để \(y_{CĐ}.y_{CT}< 0\Leftrightarrow-20\left(m-1\right)< 0\) \(\Leftrightarrow m-1>0\) \(\Leftrightarrow m>1\)
Cho hàm số \(y=\frac{-x^2+2x+a}{x-3}\) Để hàm số có giá trị cực tiểu m, giá trị cực đại M và \(m-M=4\), giá trị thích hợp của a là : 1 2 -1 -2 Hướng dẫn giải: \(y=\frac{-x^2+2x+a}{x-3}\Rightarrow y'=\frac{-x^2+6x-6-a}{\left(x-3\right)^2}\) \(y'=0\Leftrightarrow-x^2+6x-6-a=0\) Tam thức này có \(\Delta'=3-a\) Khi \(\Delta>0\), phương trình \(-x^2+6x-6-a=0\) có 2 nghiệm \(x_m< x_n\) và \(x_n-x_m=2\sqrt{3-a}\) \(\frac{u'}{v'}=-2x+2;m=-2x_m+2;M=-2x_n+2\) \(m-M=-2\left(x_m-x_n\right)=2\left(x_n-x_m\right)=4\sqrt{3-a}\) \(m-M=4\Leftrightarrow4\sqrt{3-a}=4\Leftrightarrow\sqrt{3-a=1}\) \(\Leftrightarrow a=2\) Giá trị này thỏa mãn \(\Delta>0\) Vậy chọn (B)
Cho hàm số \(y=\frac{x^2+2x+2m}{2x+m}\) . Để hàm số có cực đại, cực tiểu và hiệu số \(y_{CĐ}-y_{CT}>\sqrt{5}\), giá trị thích hợp của m là : \(m< -4\) hoặc \(m>0\) \(-5< m< -4\) \(0< m< 1\) \(m< -5\) hoặc \(m>1\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^2+2x+2m}{2x+m}\Rightarrow y'=\frac{2x^2+2mx-2m}{\left(2x+m\right)^2}\) \(y'=0\Leftrightarrow x\ne-\frac{m}{2}\) và \(2x^2+2mx-2m=0\) \(\Leftrightarrow x\ne-\frac{m}{2}\) và \(x^2+mx-m=0\) Vế trái có \(\Delta=m^2+4m\), để y có cực đại, cực tiểu thì \(m^2+4m>0\) \(\frac{u'}{v'}=x+1\Rightarrow y_{cĐ}=x_1+1;y_{CT}=x_2+1\) với \(x_1< x_2\) là 2 nghiệm phương trình \(x^2+mx-m=0\) và \(x_2-x_1=\sqrt{m^2+4m}\) Theo đề, ta có : \(y_{CT}-y_{CĐ}=x_2-x_1=\sqrt{m^2+4m}>\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow m^2+4m-5>0\Leftrightarrow m< -5\) hay \(m>1\) Các giá trị này thỏa mãn \(m^2+4m>0\) Vậy chọn (D)
Cho hàm số \(y=\left(m+2\right)x^3+3x^2+mx+2\) Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì giá trị của m không thể là : \(m=0\) \(m=-1\) \(m=\frac{1}{2}\) \(m=2\) Hướng dẫn giải: \(y=\left(m+2\right)x^3+3x^2+mx+2\) \(y'=3\left(m+2\right)x^2+6x+m\) Trước tiên, để \(y'\) là tam thức bậc hai của \(x\) thì \(m\neq -2\) . Có \(\Delta'=9-3m\left(m+2\right)=-3m^2-6m+9\) Để \(y\) có cực đại, cực tiểu thì \(\Delta'>0\) \(\Leftrightarrow-3m^2-6m+9>0\) \(\Leftrightarrow m^2+2m-3< 0\) \(\Leftrightarrow-3< m< 1\) \(\Rightarrow\) m = 2 không thỏa mãn.
Cho hàm số \(y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3\) Để đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung thì giá trị cần có của tham số \(m\) là : \(1< m< 2\) \(2< m< 3\) \(-2< m< -1\) \(-3< m< -2\) Hãy chọn kết luận đúng ? Hướng dẫn giải: \(y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3\) \(y'=3x^2-2\left(3m+1\right)x+m^2+3m+2=g\left(x\right)\) Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì \(\Delta'=(3m+1)^2-3(m^2+3m+2)>0\) \(\Leftrightarrow 6m^2-3m-5>0\) (1) Theo yêu cầu bài tập, hàm số đạt cực đại tại \(x_1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2\) và \(x_1< 0< x_2\Leftrightarrow g\left(0\right)< 0\) \(\Leftrightarrow m^2+3m+2< 0\) \(\Leftrightarrow-2< m< -1\) (2) Kết hợp (1),(2) suy ra \(-2< m< -1\)
Cho hàm số \(y=x^3-\frac{3}{2}mx^2+\frac{m^3}{2}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\). Để hai điểm cực đại và cực tiểu của \(\left(C_m\right)\) đối xứng với nhau qua đường phân giác \(y=x\) thì giá trị cần tìm của \(m\) là : \(m=\pm1\) \(m=\pm2\) \(m=\pm\sqrt{2}\) \(m=\pm\sqrt{3}\) Chọn kết luận đúng ? Hướng dẫn giải: \(y=x^3-\frac{3}{2}mx^2+\frac{m^3}{2}\) \(y'=3x^2-3mx\) Tùy theo \(m>0\) hay \(m< 0\), hai điểm cực trị của hàm số sẽ là \(\left(m,0\right)\) và \(\left(0;\frac{m^3}{2}\right)\) Để hai điểm này đối xứng nhau qua đường phân giác \(y=x\) thì \(\frac{m^3}{2}=m\) \(\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=\pm\sqrt{2}\) Loại \(m=0\) vì trong trường hợp này hàm \(y=x^3\) không có cực đại, cực tiểu
Cho hàm số \(y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}\) (m là tham số). Giả sử m là giá trị thỏa mãn hàm số có cực đại, cực tiểu và hai giá trị cực đại \(\left(y_{CĐ}\right)\), cực tiểu \(\left(y_{CT}\right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left|y_{CĐ}-y_{CT}\right|>8\sqrt{2}\) . Giá trị m không thể bằng: \(m=-2\) \(m=1\) \(m=3\) \(m=-3\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}\) \(y'=\frac{2x^2-4mx+2m}{\left(x-m\right)^2}=\frac{2\left(x^2-2mx+m\right)}{\left(x-m\right)^2}\) Để hàm số cực đại, cực tiểu thì \(\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m< 0\) hay \(m>1\) Lúc này, gọi \(x_{CĐ},x_{CT}\) là hai nghiệm của phương trình \(y'=0\) thì : \(\left|x_{CT}-x_{CĐ}\right|=2\sqrt{m^2-m}\) \(y_{CT}=4x_{CT-3};y_{CĐ}=4x_{CĐ-3}\) \(\Rightarrow\left|y_{CT}-y_{CĐ}\right|=4\left|x_{CT}-x_{CĐ}\right|=8\sqrt{m^2-m}\) Yêu cầu bài tập \(\left|y_{CT}-y_{CĐ}\right|=8\sqrt{2}\Leftrightarrow4\left|x_{CT}-x_{CĐ}\right|>8\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow8\sqrt{m^2-m}>8\sqrt{2}\Leftrightarrow\sqrt{m^2-m}>\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow m^2-m>2\) \(\Leftrightarrow m^2-m-2>0\) \(\Leftrightarrow m< -1\) hay \(m>2\) Giá trị \(m=1\) không thỏa mãn điều kiện này.
Cho hàm số \(y=\frac{x^3}{3}-mx^2-x+m\) Gọi \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\) là tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số thì tỉ số \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\) bằng : \(\frac{2}{3}\left(1+m^2\right)\) \(\frac{1}{3}\left(1+m^2\right)\) \(-\frac{2}{3}\left(1+m^2\right)\) \(\frac{-1}{3}\left(1+m^2\right)\) Hãy chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^3}{3}-mx^2-x+m\Rightarrow y'=x^2-2mx-1\) Vậy chọn (C)
Cho hàm số \(y=\frac{x^2-2mx+m+2}{x-m}\) Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì giá trị của tham số \(m\) có thể là : $m = 1$ $m = -2$ $m = 3$ $m = -3$ Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^2-2mx+m+2}{x-m}\) \(y'=\frac{x^2-2mx+2m^2-m-2}{\left(x-m\right)^2};\left(x\ne m\right)\) \(y'=0\Leftrightarrow x^2-2mx+2m^2-m-2=0\) Phương trình này có \(\Delta'=-m^2+m+2\) Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì \(\Delta'>0\) \(\Leftrightarrow-m^2+m+2>0\) \(\Leftrightarrow m^2-m-2< 0\) \(\Leftrightarrow-1< m< 2\) (A) là kết quả chọn đúng
Cho hàm số \(y=\frac{x^2+2mx+2}{x+1}\) Để đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng \(x+y+2=0\) bằng nhau, giá trị của m bằng : \(m=1\) \(m=2\) \(m=\frac{1}{2}\) \(m=\frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải:
