Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y=x^3-12x+20\) ? \(y_{CT}=0\) \(y_{CT}=4\) \(y_{CT}=20\) \(y_{CT}=36\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-12=3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\) \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm tại x = -2 và đổi dấu từ âm sang dương tai x = 2. => Hàm số có cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 2. \(y_{CT}=2^3-12.2+20=4\)
Tìm giá trị cực đại \(y_{CĐ}\) (nếu có) của hàm số : \(y=-3x^4-4x^3+1\) ? \(y_{CĐ}=-6\) \(y_{CĐ}=0\) \(y_{CĐ}=2\) Hàm số không có giá trị cực đại Hướng dẫn giải: \(y'=-12x^3-12x^2=-12x^2\left(x+1\right)\) Ta có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=-1\) nên y có cực đại tại \(x=-1\), và \(y_{CĐ}=-3\left(-1\right)^4-4\left(-1\right)^3+1=2\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y=-x+m\sqrt{x}-1\) có cực trị ? \(m< 0\) \(m\le0\) \(m\ge0\) \(m>0\) Hướng dẫn giải: Miền xác định của hàm số là: \(x\ge0\). Ta có: \(y'=-1+\frac{m}{2\sqrt{x}}=\frac{m-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\) Để hàm số có cực trị thì \(y'=0\) có nghiệm, suy ra phương trình \(m-2\sqrt{x}=0\) có nghiệm \(x>0\). (chú ý, y' xác định khi \(x>0\)) \(\Leftrightarrow m>0\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y=x^4+2\left(m+2\right)x^2-4\left(m+3\right)x+1\) có ba điểm cực trị ? \(m< -\frac{11}{4}\) \(m< \frac{13}{4}\) \(m\ge-\dfrac{13}{4}\) \(m< -5\) hoặc \(-5< m< -\frac{11}{4}\) Hướng dẫn giải: \(y'=4x^3+4\left(m+2\right)x-4\left(m+3\right)=4\left[x^3-x+\left(m+3\right)x-\left(m+3\right)\right]\) \(=4\left[x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+\left(m+3\right)\left(x-1\right)\right]=4\left(x-1\right)\left(x^2+x+m+3\right)\) Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt. Suy ra: phương trình \(x^2+x+m+3=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1 (vì x = 1 là một nghiệm của y'). Điều kiện là: \(\begin{cases}\Delta=1-4\left(m+3\right)>0\\1^2+1+m+3\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m< -\frac{11}{4}\\m\ne-5\end{cases}\)
Hỏi hàm số \(y=\left|x\right|^3-3x+1\) có bao nhiêu điểm cực trị ? Không có điểm cực trị Có một điểm cực trị Có hai điểm cực trị Có ba điểm cực trị Hướng dẫn giải: \(y=\left|x\right|^3-3x+1=\begin{cases}x^3-3x+1,x\ge0\\-x^3-3x+1,x< 0\end{cases}\) \(\Rightarrow y'=\begin{cases}3x^2-3,x\ge0\\-3x^2-3,x< 0\end{cases}\) \(\Rightarrow y'=0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-1=0,x\ge0\\x^2+1=0,x< 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=1\) Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị.
Hỏi hàm số \(y=\left|x\right|^3-x^2-1\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ? Không có điểm cực trị Có một điểm cực trị Có hai điểm cực trị Có ba điểm cực trị Hướng dẫn giải: Hàm \(y=\left|x\right|^3-x^2-1\) là hàm chẵn (vì \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)) nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Ta xét trường hợp \(x\ge0\) thì \(y=x^3-x^2-1\) \(\Rightarrow y'=3x^2-2x=3x\left(x-\frac{2}{3}\right)\) Đồ thị ứng với \(x\ge0\) có hai điểm cực trị tương ứng với hoành độ \(x=0;x=\frac{2}{3}\), trong đó có 1 điểm nằm trên trục tung. Nếu lấy đối xứng qua trục tung thì có thêm 1 điểm cực trị nữa (do điểm trên trục tung lấy đối xứng qua trục tung sẽ là chính nó). Vậy đồ thị có 3 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số nào, trong bốn hàm số được liệt kê ở các phương án dưới đây không có điểm cực trị ? \(y=x^3+2x-1\) \(y=-2x^3+x^2+1\) \(y=x^4+5x-2\) \(y=-x^4+2x^2+1\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=x^3+2x-1\) có đạo hàm \(y'=3x^2+2>0,\forall x\) nên không có cực trị.
Đồ thị nào trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây, có đúng một điểm cực trị ? \(y=x^3-2x+1\) \(y=-2x^4-x^2+1\) \(y=x^4-5x^2-2\) \(y=\frac{2x+1}{3-4x}\) Hướng dẫn giải: - Hàm bậc ba hoặc là có hai điểm cực trị, hoặc không có điểm cực trị. - Hàm phân thức \(y=\frac{2x+1}{3-4x}=\frac{\frac{1}{2}\left(4x-3\right)+\frac{5}{2}}{3-4x}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{3-4x}\) không có điểm cực trị. Trong hai hàm trùng phương còn lại: \(y=-2x^4-x^2+1\) \(\Rightarrow y'=-8x^3-2x=-2x\left(4x^2+1\right)\) => \(y'\) có 1 nghiệm => Hàm số có đúng một điểm cực trị. \(y=x^4-5x^2-2\) \(\Rightarrow y'=4x^3-10x=2x\left(2x^2-5\right)\) => \(y'\) có 3 nghiệm phân biệt => Hàm số có 3 điểm cực trị.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^3-\left(m+1\right)x^2+\frac{4}{3}x-2\) không có điểm cực trị ? \(-3< m< 1\) \(-1< m< 1\) \(m< 1\) \(-3\le m\le1\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-2\left(m+1\right)x+\frac{4}{3}\) Để hàm số không có điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, điều kiện là: \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-4\le0\) \(-3\le m\le1\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^3-x^2+\left(m+1\right)x+2\) có đúng hai điểm cực trị ? \(m< -\frac{11}{12}\) \(m< -\frac{2}{3}\) \(m< \frac{4}{3}\) \(m< \frac{13}{12}\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-2x+m+1\) Hàm số có đúng hai điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt. \(\Delta'=1-3\left(m+1\right)>0\) \(\Leftrightarrow m< \frac{-2}{3}\)
