Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=mx^3-x^2+\left(m-1\right)x+3\) có đúng hai điểm cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm điểm cực đại ? \(-\frac{3+\sqrt{21}}{3}< m< 0\) \(\frac{3-\sqrt{21}}{3}< m< 0\) \(-\frac{3+\sqrt{21}}{6}< m< 0\) \(\frac{3-\sqrt{21}}{6}< m< 0\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\left(1-m\right)x^3-x^2+\left(m+2\right)x+2\) có đúng hai điểm cực trị và hai điểm đó nằm ở hai phía của trục tung ? m < - 2 m > 1 - 2 < m < 1 m < -2 hoặc m > 1 Hướng dẫn giải: \(y'=3\left(1-m\right)x^2-2x+m+2\) Để hàm số có 2 điểm cực trị và hai điểm đó nằm hai phía của trục tung thì ta có các điều kiện sau: - Hệ số của \(x^3\) phải khác 0 (để là hàm bậc ba) - \(y'=0\) (phương trình bậc hai) có hai nghiệm trái dấu (nằm về 2 phía của trục tung) (chú ý để có tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c\) có hai nghiệm trái dấu thì chỉ cần \(\frac{c}{a}< 0\), điều kiện này đã đảm bảo \(\Delta=b^2-4ac>0\)) Hay là: \(\begin{cases}1-m\ne0\\\frac{m+2}{1-m}< 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(1-m\right)< 0\) \(\Leftrightarrow m< -2;m>1\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y=mx^4+\left(m^2-1\right)x^2+1\) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu \(m< -1\) \(0< m< 1\) \(m< -1\) hoặc \(0< m< 1\) \(-1< m< 0\) Hướng dẫn giải: Hàm số trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi thỏa mãn 2 điều kiện sau: - Hệ số a < 0 - \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: \(y'=4mx^3+2\left(m^2-1\right)x=2x\left[2mx^2+\left(m^2-1\right)\right]\) Điều kiện là: \(\begin{cases}m< 0\\\dfrac{1-m^2}{2m}>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m< 0\\ 1-m^2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -1\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=x^4+2mx^2+1\) có 3 điểm cực trị và ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác đều ? \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\) \(m=\frac{1}{3}\) \(m=-3\) \(m=-\sqrt[3]{3}\) Hướng dẫn giải: Xét: \(y'=4x^3+4mx=4x\left(x^2+m\right)\) Để hàm số có 3 cực trị thì \(y'=0\) có 3 nghiệm, suy ra \(x^2+m=0\) có hai nghiệm khác \(0\) (vì y' có một nghiệm bằng 0) \(\Rightarrow m< 0\). Khi đó hoành độ của 3 điểm cực trị là: \(-\sqrt{-m};0;\sqrt{-m}\) và 3 điểm lần lượt là: \(A\left(-\sqrt{-m};-m^2+1\right)\); \(B\left(0;1\right)\); \(C\left(\sqrt{-m};-m^2+1\right)\) Dễ thấy B nằm trên trục tung và A, C đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác ABC cân tại B. Để ABC là tam giác đều ta cần thêm điều kiện: \(AB=AC\) \(\Leftrightarrow AB^2=AC^2\) \(\Leftrightarrow\left(0+\sqrt{-m}\right)^2+\left(1+m^2-1\right)^2=\left(\sqrt{-m}+\sqrt{-m}\right)^2+\left(-m^2+1+m^2-1\right)^2\) \(\Leftrightarrow-m+m^4=4\left(-m\right)\) \(\Leftrightarrow m\left(m^3+3\right)=0\) \(\Leftrightarrow m=-\sqrt[3]{3}\) (vì m < 0)
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=x^3-(2m-1)x+m^2+1\) có hai điểm cực trị. \(m>0,5\) \(m<0,5\) \(m>\sqrt{2}\) \(m\le0,5\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-(2m-1)\) . Hàm số đã cho sẽ có 2 cực trị khi và chỉ khi \(y'\) có hai nghiệm phân biệt, hay \(2m-1>0\). Vậy \(m>0,5\)
Tìm các giá trị của m để hàm số \(y=x^3+mx^2+mx\) có một điểm cực trị duy nhất. \(m=\sqrt{2}\) \(m< 1\) Không có giá trị nào của m thỏa mãn. \(m=\frac{5}{4}\) Hướng dẫn giải: Có \(y'=3x^2+2mx+m\) . Nếu tam thức \(y'\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì \(y'\) có dấu không đổi, hàm số không có cực trị. Nếu \(y'\) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có 2 điểm cực trị. Vì vậy không có giá trị nào của m để hàm số có một điểm cực trị duy nhất. Chú ý: Từ dạng của đồ thị hàm số bậc 3, ta cũng thấy ngay đáp án đúng là C.
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-3x+1-m\) có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. \(m\in\left\{-1;3\right\}\) \(m\in\left(-1;3\right)\) \(m\in\left(-\infty;+\infty\right)\) \(m< -1;m>3\) Hướng dẫn giải: Vì \(y'=3x^2-3\) có 2 nghiệm phân biệt \(x=-1;x=1\) nên các giá trị của hàm số đã cho tại hai điểm này là \(y=3-m\) và \(y=-1-m\) cũng là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số. Cần tìm m để \(\left(3-m\right)\left(-1-m\right)< 0\) tức là \(-1< m< 3\) . Vậy B là phương án trả lời đúng.
Tìm các bộ ba số thực \(\left(a;b;c\right)\) để đồ thị hàm số \(y=a x^4+bx^2+c\) có \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại và \(B\left(-1;-5\right)\) là một điểm cực tiểu. \(\left(a;b;c\right)=\left(2;4;-3\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(2;-4;-3\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(-3;-1;-5\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(-2;4;-3\right)\) Hướng dẫn giải: Đồ thị qua A và B suy ra \(c=-3\) và \(a+b=-2\) . Chỉ có B thỏa mãn điều kiện này. Vậy B là phương án trả lời đúng.
Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=x^2-2\left|x\right|\) . \(\left\{0\right\}\) \(\left\{0;1\right\}\) \(\left\{-1;1\right\}\) \(\left\{-1;0;1\right\}\) Hướng dẫn giải: Khi \(x\ge0\) thì \(y=x^2-2x\); khi \(x< 0\) thì \(y=x^2+2x\). Lập bảng biến thiên của hàm số đã cho suy ra \(0;-1;1\) là 3 điểm cực trị. D là phương án trả lời đúng.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=2x^3-3x^2\). \(y=-3x+2\) \(y=x+1\) \(y=-2x\) \(y=-x\) Hướng dẫn giải: \(y'=6x^2-6x\) có hái nghiệm phân biệt \(x=0;x=1\). Đồ thị \(y=2x^3-3x^2\) có hai điểm cực trị là \(\left(0;0\right)\) và \(\left(1;-1\right)\). Đường thẳng qua hai điểm này có phương trình là \(y=-x\).
