Cho hàm số \(y=-x-\frac{2}{x}\) . Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? Đạo hàm của hàm số triệt tiêu và đổi dấu tại \(x=\sqrt{2}\) và \(x=-\sqrt{2}\) . Hàm số đạt cực trị tại \(x=\sqrt{2}\) và \(x=-\sqrt{2}\) . \(y=2\sqrt{2}\) là giá trị cực đại và \(y=-2\sqrt{2}\) là giá trị cực tiểu của hàm số. \(M\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)\) và \(N\left(\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Hướng dẫn giải: Với hàm số bậc hai chia bậc nhất, giá trị cực đại luôn nhỏ hơn giá trị cực tiểu. Vậy C sai. Học sinh cần chú ý, bài toán yêu cầu chọn phương án trả lời sai.
Trong các hàm số cho sau đây, hàm số nào có cực trị? \(y=x^4+5x^3-3x^2+2x-1\) \(y=(x-1)^3+2\) \(y=\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x-1\) \(y=\dfrac{-x+5}{x+1}\) Hướng dẫn giải: Các hàm số \(y=\left(x-1\right)^3+2,y=\dfrac{4}{3}x^3-6x^2+9x-1\) đều có đạo hàm không âm với mọi \(x\in\mathbb{R}\); \(y=\frac{-x+5}{x+1}\) có đạo hàm nhỏ hơn 0 trên khoảng xác định nên các hàm số này đều không có cực trị.
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=-(x-1)^3+3m^2(x-1)-2\) có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ? \(m=5\) \(m=-5\) \(m=\frac{1}{3};m=-\frac{1}{3}\) \(m=-\frac{1}{2};m=\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y'=-3(x-1)^2+3m^2\) . Nếu \(m=0\) thì hàm số không có cực trị. Nếu \(m\ne0\) thì hàm số có hai điểm cực trị \(x_1=1-m;x_2=1+m\) . Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị \(M\left(x_1=1-m;y_1=-2m^3-2\right)\) và \(N\left(x_2=1+m;y_2=2m^3-2\right)\) . Hai điểm cực trị sẽ cách đều gốc tọa độ khi và chỉ \(OM=ON\Leftrightarrow x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2\). Từ đo ta được \(m=-\frac{1}{2};m=\frac{1}{2}\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=2x^3+3(m-1)x^2+6(m-2)x-2017\) có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \(\left(-5;5\right)\) . \(m>-3\) \(m< 7\) \(-3< m< 7\) \(-3< m< 3;3< m< 7\) Hướng dẫn giải: \(y'=x^2+(m-1)x+m-2\) có hai nghiệm \(x_1=-1;x_2=2-m\) . Yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện khi và chỉ khi \(x_1\ne x_2\) và \(-5< 2-m< 5\) . Từ đó \(m\ne3\) và \(-3< m< 7\) . Vậy D là phương án trả lời đúng.
Cho hàm số \(y=\frac{x^2+3}{x+1}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(-3\) Giá trị cực tiểu của hàm số băng \(1\) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(-6\) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(2\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(x\ne-1\). \(y'=\frac{\left(x+1\right)2x-\left(x^2+3\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}\) \(y'=0\) tại \(x=1;x=-3\) \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=-3\) nên có cực đại tại điểm này. \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương tai \(x=1\) nên có cực tiệu tại \(x=1\). Vậy giá trị cực tiểu là: \(y_{CT}=y\left(1\right)=\frac{1^2+3}{1+1}=2\)
Biết M(0;2) , N(2; -2) là các điểm cực trị của hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\). Tính giá trị hàm số tại \(x=-2\) ? \(y\left(-2\right)=2\) \(y\left(-2\right)=22\) \(y\left(-2\right)=6\) \(y\left(-2\right)=-18\) Hướng dẫn giải: \(y'=3ax^2+2bx+c\) y có M(0;2) , N(2; -2) là các điểm cực trị nên \(y'=0\) có hai nghiệm là \(x=0;x=2\). Suy ra: \(y'\left(0\right)=c=0\) \(y'\left(2\right)=12a+4b+c=12a+4b=0\) (do c=0) Ta có thêm điều kiện M, N thuộc đồ thị hàm số nên: \(y\left(0\right)=d=2\) \(y\left(2\right)=a2^3+b2^2+2=8a+4b+2=-2\) (chú ý c=0 và d=2) Vậy ta tìm a, b thông qua hệ: \(\left\{\begin{matrix}12a+4b=0\\8a+4b+2=-2\end{matrix}\right.\) Suy ra a = 1; b = -3. Vậy \(y=x^3-3x^2+2\) Và \(y\left(-2\right)=\left(-2\right)^3-3\left(-2\right)^2+2=-18\)
Tìm giá trị cực đại \(y_{CĐ}\) của hàm số \(y=x^3-3x+2\). \(y_{CĐ}=4\). \(y_{CĐ}=1\). \(y_{CĐ}=0\). \(y_{CĐ}=-1\). Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-3;y"=6x\); \(y'=0\Leftrightarrow x=-1;x=1\); \(y"\left(-1\right)=-6< 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại là \(y_{CĐ}=y\left(-1\right)=4\). \(y"\left(1\right)=6>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\). Đáp số: \(y_{CĐ}=4\).
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-1\right)x\) có hai điểm cực trị là A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(y=5x-9\). Tính tổng tất cả các phần tử của S. 0. 6. -6. 3. Hướng dẫn giải: \(y'=x^2-2mx+m^2-1\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1=m-1,x_2=m+1\). Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)\) trong đó \(y_1=y\left(x_1\right),y_2=y\left(x_2\right)\) . Yêu cầu A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d có nghĩa là trung điểm I của đoạn AB phải nằm trên d: I có tọa độ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=m\\y=\dfrac{y_1+y_2}{2}\end{matrix}\right.\) . Tính \(y_1+y_2\): Ta có \(y_1+y_2=\dfrac{1}{3}\left(x_1^3+x_2^3\right)-m\left(x_1^2+x_2^2\right)+\left(m^2-1\right)\left(x_1+x_2\right)\) với \(x_1+x_2=2m,x_1^2+x_2^2=2\left(m^2+1\right),x_1^3+x_2^3=2\left(m^3+3m\right)\) nên \(y_1+y_2=\dfrac{2}{3}\left(m^3+3m\right)-m.2\left(m^2+1\right)+\left(m^2-1\right).2m=\dfrac{2}{3}\left(m^3-3m\right)\) Vậy I có tọa độ \(x=m,y=\dfrac{1}{3}\left(m^3-3m\right)\). Yêu cầu bài toán được thực hiện khi \(\dfrac{1}{3}\left(m^3-3m\right)=5m-9\Leftrightarrow m^3-18m+27=0\) Phương trình này có ba nghiệm \(m=3,m=\dfrac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}\) nên \(S=\left\{3;\dfrac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}\right\}\) Tổng các phần tử của S là 0.
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có bảng biến thiên như sau Mệnh đề nào dưới đây sai? Hàm số có 3 điểm cực trị. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. Hàm số có hai điểm cực tiểu. Hướng dẫn giải: Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số có hai điểm cực tiểu là \(x=-1\) và \(x=1\), có một điểm cực đại là \(x=0\). giá trị cực đại là 3, giá trị cực tiểu là 0. Vì vậy "Hàm số có giá trị cực đại bằng 0" là mệnh đề sai.
Cho hàm số \(y=x^3+3x+2\). Mệnh đề nào sau đây đúng? Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2+3>0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)
