Hàm số \(y=\dfrac{2x+3}{x+1}\) có bao nhiêu điểm cực trị ? 0 3 2 1 Hướng dẫn giải: Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ có cực trị (đạo hàm \(\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad-bc}{\left(cx+d\right)^2}\) không đổi dấu).
Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: \(y = (2m-1)x+3+m \) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = x^3-3x^2+1\) \(m = \frac{3}{4}\) \(m = \frac{1}{4} \) \(m = - \frac{1}{2} \) \(m = \frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{array}{l} \\ y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\{x = 2} \end{array}} \right. \end{array} \) Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0 ;1),B(2 ;-3) Và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d’: \( y=-2x+1.\) d vuông góc với d' khi và chỉ khi \(-2\left(2m-1\right)=-1\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? x = 1 x = 0 x = 5 x = 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|\) có 7 điểm cực trị? 3 5 6 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: Dễ lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2\). Đồ thị hàm số này có dạng : Đồ thị hàm số \(y=\left|f\left(x\right)\right|=\left|3x^4-4x^3-12x^2\right|\) có dạng Ta thấy trường hợp này hàm số có 6 điểm cực trị: gồm 3 điểm cực trị của \(y=f\left(x\right)\) và 3 giao điểm của đồ thị với trục hoành. Trong trường hợp tổng quát, các điểm cực trị của hàm số\(y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|\) bao gồm 3 điểm cực trị của \(y=3x^4-4x^3-12x^2+m\) và các giao điểm của đồ thị hàm số này với trục hoành. Vì vậy, để có 7 điểm cực trị, cần và đủ là đồ thị \(y=3x^4-4x^3-12x^2+m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Chú ý rằng đồ thị \(y=3x^4-4x^3-12x^2+m\) là tịnh tiến của đồ thị màu xanh lá cây vẽ ở trên lên phía trên m đơn vị (nếu m>0) hoặc xuống phía dưới \(\left|m\right|\) đơn vị nếu m< 0. Từ đó ta thấy \(m\in\left\{1;2;3;4\right\}\). Đáp số đúng là \(m=4\) Cách 2: Đặt \(f\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2+m\) thì hàm số đã cho là \(y=\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{f^2\left(x\right)}\) nên \(y'=\dfrac{2f\left(x\right)f'\left(x\right)}{2\sqrt{f^2\left(x\right)}}=\dfrac{f'\left(x\right)f\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}\) Mặt khác \(f'\left(x\right)=12x^3-12x^2-24x=12x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\) nên \(f'\left(x\right)\) đổi dấu ba lần tại \(x=0;x=-1;x=2\). Do đó với mọi m, hàm số đã cho có tối thiểu là 3 điểm cực trị. Các điểm cực trị còn lại nếu có phải là các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm, tức là các nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (bậc 4), nghĩa là hàm số đã cho có không quá 7 điểm cực trị. Vì vậy hàm số đã ho sẽ có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(3x^4-4x^3-12x^2+m=0\Leftrightarrow m=-3x^4+4x^3+12x^2\) có 4 nghiệm phân biệt khác với 0; -1; 2. Nhìn đồ thị ta thấy \(0< m< 5\). Các giá trị nguyên của m trong khoảng này là 1; 2; 3; 4. Đáp số đúng là 4.
Cho hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\left(a,b,c,d\in\mathbb{R}\right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: 2 3 1 0
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=x^8+\left(m-2\right)x^5-\left(m^2-4\right)x^4+1\) đạt cực tiểu tại x = 0 ? Vô số 3 4 5
