Cho hàm số \(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}\) có đồ thị (C). Mệnh đề nào sai ? (C) có tâm đối xứng là I(-4;-5) Tích số các khoảng cách từ \(M\left(x_0;y_0\right)\in\left(C\right)\) đến hai tiệm cận (C) bằng \(3\sqrt{2}\) Tích \(y_{CĐ}.y_{CT}=1\) Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left(-1;0\right)\in\left(C\right):x-3y+3=0\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}=x-1+\frac{6}{x+4}\Rightarrow\left(C\right)\) có tiệm cận đứng \(x+4=0\); tiệm cận xiên \(y=x-1\) \(y'=\frac{x^2+8x+10}{\left(x+4\right)^2}\) * Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_{1,}x_2\) và \(x_1+x_2=-8;x_1.x_2=10\) * Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C) : I(-4;-5) * Xét điểm \(M\left(x_0;x_0-1+\frac{6}{x_0+4}\right)\in\left(C\right)\) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : \(\left|t_1\right|=\left|x_0+4\right|\) Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên : \(\left|t_2\right|=\frac{\left|x_0-x_0+1-\frac{6}{x_0+4}-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}\left|x_0+4\right|}\) \(\left|t_1\right|.\left|t_2\right|=\left|x_0+4\right|.\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\) \(\frac{u'}{v'}=2x+3\Rightarrow y_{CĐ}=2x_1+3y_{CT}=2x_2+3\) \(y_{CĐ}.y_{CT}=\left(2x_1+3\right)\left(2x_2+3\right)=4x_1x_2+6\left(x_1+x_2\right)+9\) \(=4.10+6.\left(-8\right)+9=1\) A, B, C đều đúng Vậy (D) sai Phương pháp tiếp tuyến tại \(A\left(-1;0\right);y'_{-1}=\frac{1-8+10}{\left(-1+4\right)^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) \(y=\frac{1}{3}\left(x+1\right)\Leftrightarrow x-3y+1=0\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên tập \(D=\left(-3;3\right)\backslash\left\{-1;1\right\}\) và có \(\lim\limits_{x\rightarrow-3^+}f\left(x\right)=-\infty\) , \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}f\left(x\right)=-\infty\) , \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}f\left(x\right)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=+\infty\) , \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=+\infty\) , \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)=+\infty\). Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x=-3;x=3\) Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x=-1;x=1\) Đồ thị hàm số đã cho có đúng bốn tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x=-3;x=3;x=-1;x=1\) Đồ thị đã cho có 6 tiệm cận đứng
Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+2}{\left|x\right|+1}\) ? Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3 và không có tiệm cận đứng Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1 Đồ thị hàm số đã cho có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -3; y = 3 và không có tiệm cận đứng Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1; x = 1 Hướng dẫn giải: Vì hàm số xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) nên đồ thị không có tiệm cận đứng. \(y=\frac{3x+2}{\left|x\right|+1}=\begin{cases}\frac{3x+2}{x+1},x\ge0\\\frac{3x+2}{x+1},x< 0\end{cases}\) \(=\begin{cases}\frac{3\left(x+1\right)-2}{x+1}=3-\frac{2}{x+1},x\ge0\\\frac{3\left(x-1\right)+5}{-x+1}=-3+\frac{5}{-x+1},x< 0\end{cases}\) Ta suy ra: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=3\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-3\) Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là: y = 3 và y = -3
Đồ thị hàm số nào, trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây có đường tiệm cận ? \(y=5x^3-x^2+2x+3\) \(y=-2x^4+x^2-1\) \(y=-x^3+x+1\) \(y=\frac{1}{2x+5}\) Hướng dẫn giải: Các hàm số \(y=5x^3-x^2+2x+3\), \(y=-2x^4+x^2-1\), \(y=-x^3+x+1\) không có giới hạn hữu hạn khi \(x\rightarrow\pm\infty\) nên không có tiệm cận ngang, và miền xác định của chúng là toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\) nên cũng không có tiệm cận đứng. Hàm \(y=\frac{1}{2x+5}\) có tiệm cận đứng tại \(x=-\frac{5}{2}\) (\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm2}y=\infty\)).
Tìm kết luận sai trong bốn kết luận sau : Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) có một tiệm cận đứng, một tiệm cận ngang Đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2-3x+4}{x+2}\) có một tiệm cận đứng, một tiệm cận xiên Đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x^2+x+2}\) có một tiệm cận đứng, một tiệm cận ngang Đồ thị hàm số \(y=\frac{x^3}{x^2-x-2}\) có hai tiệm cận đứng, một tiệm cận xiên Hướng dẫn giải: Đồ thị \(y=\frac{x}{x^2+x+2}\) không có tiệm cận đứng
Cho hàm số \(y=\frac{4x^3+1}{x^2-x+2}\) có đồ thị (C). (C) chỉ có 1 tiệm cận xiên. Đó là đường thẳng : \(y=4x-4\) \(y=4x+4\) \(y=4x-2\) \(y=4x+2\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{4x^3+1}{x^2-x+2}=4x+4-\frac{4x+7}{x^2-x+2}\) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\frac{4x+7}{x^2-x+2}=0\Rightarrow y=4x+4\) là tiệm cận xiên của (C)
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x^2-4x+m}\) có đồ thị là (C). Hãy chọn câu sai ? (C) có một tiệm cận ngang, hai tiệm cận đứng nếu m < 4 (C) có một tiệm cận ngang là trục hoành, một tiệm cận đứng nếu m = 4 (C) có một tiệm cận ngang, hai tiệm cận đứng với mọi m (C) chỉ có một tiệm cận ngang nếu m > 4 Hướng dẫn giải:
(C) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x^3+1}{x^2-mx+1}\). Chọn câu đúng : (C) có hai tiệm cận song song với trục Oy nếu : $m = - 2$ hay $m = 2$ $m < - 2$ hay $m > 2$ $m < -4$ hay $m > 4$ $- 2 < m < 2$ Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{ax^2+3ax+2a+1}{x+2}\) có đồ thị là \(\left(C_a\right)\). Với mọi a, tiệm cận của \(\left(C_a\right)\) luôn đi qua một điểm cố định. Tọa độ điểm cố định đó là : $(- 1; 2)$ $(1; - 2)$ $(- 1; 0)$ $(1; 0)$ Hướng dẫn giải: \(y=\frac{ax^2+3ax+2a+1}{x+2}=ax+a+\frac{1}{x+2}\).\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x+2}=0\) \(\Rightarrow y=ax+a\) là tiệm cận xiên. Dễ thấy \(x=-1;y=0\) là điểm cố định mà mọi tiệm cận xiên của (C) đều qua
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x^2+2mx+1}{x-1}\). Tiệm cận xiên của (C) cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Để diện tích tam giác OAB bằng 4,5 đơn vị diện tích, giá trị thích hợp của tham số m là : m = 2 hay m = - 1 m = 1 hay m = - 2 m = - 3 hay m = 4 m = - 4 hay m = 3 Hướng dẫn giải:
