Cho hàm số \(y=\frac{2x^2+x+3}{x+1}\) có đồ thị là (C). Tiệm cận xiên của (C) và hai trục Ox, Oy tạo thành một tam giác có chu vi bằng : \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{2+\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{4+\sqrt{5}}{2}\) Chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải:
Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2\sqrt{x^2-1}+1}{x}\) . \(y=2\) \(y=+\infty\) \(y=-2\) \(y=2\) và \(y=-2\) Hướng dẫn giải: Có \(y=\left(2\left|x\right|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+1\right):x=\frac{2\left|x\right|}{x}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\) nên \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=2\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-2\) . Do đó chọn D.
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2+1}{x^2-4\left|x\right|-5}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng? 0 4 2 1 Hướng dẫn giải: Vì \(x^2=\left|x\right|^2\) nên \(y=\frac{x^2+1}{\left(\left|x\right|+1\right)\left(\left|x\right|-5\right)}\) , do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow-5}y=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow5}y=+\infty\) . Do đó \(y=-5\) và \(y=5\) là 2 tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.
Xét hàm số \(y=\frac{x^2+x-3}{x+2}\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số không có cực trị Hàm số có 2 cực trị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải: \(y'=\frac{x^2+4x+5}{\left(x+2\right)^2}=1+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}>0,\forall x\ne-2\) .
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2+x-2}{x^2-2x+m}\) có 2 đường tiệm cận đứng phân biệt. \(m\in\left(-\infty;1\right)\) \(m\in\left(-\infty;-8\right)\cup\left(-8;1\right)\) \(m< -1\) \(-8< m< 1\) Hướng dẫn giải: Mẫu thức phải có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của tử thức. Tử thức có 2 nghiệm phân biệt là \(x=1,x=-2\) vì thế 1 và \(-2\) phải không là nghiệm của tử thức, tức là \(m\ne1,m\ne-8\) . Mẫu thức có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta=1-m>0\) hay \(m< 1\). Vì vậy B là phương án trả lời đúng.
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\) ? \(x=1\) \(y=-1\) \(y=2\) \(x=-1\) Hướng dẫn giải: Tiệm cận đứng thường là đường thẳng làm cho mẫu số của hàm số bằng 0. \(x=-1\) là tiệm cận đứng vì: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{2x+1}{x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(2-\frac{1}{x+1}\right)=-\infty\)
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}\) ? \(x=-3\) và \(x=-2\) \(x=-3\) \(x=3\) và \(x=2\) \(x=3\) Hướng dẫn giải: Mẫu số \(x^2-5x+6=0\) khi \(x=3;x=2\). *)Với \(x=3\) thì tử số \(2x-1-\sqrt{x^2+x+3}=2.3-1-\sqrt{3^2+3+3}\ne0\) . Suy ra \(x=3\) là một tiệm vân đứng. *) Với \(x=2\) thì tử số \(2x-1-\sqrt{x^2+x+3}=2.2-1-\sqrt{2^2+2+3}=0\). Ta tính giới hạn của y khi x tiến tới 2 như sau: \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left[2x-1-\sqrt{x^2+x+3}\right]\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}{\left(x^2-5x+6\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(x^2+x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-5x-2}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left(3x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{3x+1}{\left(x-3\right)\left[2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right]}=\frac{3.2+1}{\left(2-3\right)\left[2.2-1+\sqrt{2^2+2+3}\right]}=-\frac{7}{6}\ne\infty\) Vậy \(x=2\) không phải là tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=1,\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y=1\) và \(y=-1\). Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(x=1\) và \(x=-1\). Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa tiệm cận ngang thì các đường thẳng \(y=1\)và \(y=-1\) là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho vì có \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=1,\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-1\).
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có bảng biến thiên như sau: Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? 1. 3. 2. 4. Hướng dẫn giải: Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}f\left(x\right)=-\infty,\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0\) nên đồ thị có hai đường tiệm cận đứng \(x=-2;x=0\) và một đường tiệm cận ngang \(y=0\). Đáp số: 3.
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x^2-3x-4}{x^2-16}\). 2. 3. 1. 0. Hướng dẫn giải: Tam thức tử số có hai nghiêm là -1 và 4; Tam thức mẫu số có hai nghiệm là 4 và -4. Do đó \(y=\dfrac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash\left\{-4;4\right\}\). Trên tập xác định này ta có \(y=\dfrac{x+1}{x+4}\). Như vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow4}y=\dfrac{5}{8};\lim\limits_{x\rightarrow-4}y=\infty\). Hàm số có tiệm cận đứng duy nhất là \(x=-4\).
