I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa: Giả sử hàm số \(f\) xác định trên tập hợp D. Khi đó : • \(M=max_{x\in D}f\left(x\right)\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)\le M,x\in D\\\exists x_0\in D:M=f\left(x_0\right)\end{cases}\) • \(m=min_{x\in D}f\left(x\right)\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)\ge M,x\in D\\\exists x_0\in D:m=f\left(x_0\right)\end{cases}\) Lưu ý. • Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. • Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. II. Các qui tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]. • Tính \(y',y'=0\Rightarrow x_i\in\left[a;b\right]\) • Tính \(y\left(a\right),y\left(b\right),y\left(x_i\right)\); so sánh và kết luận. 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D. • Tính \(y',y'=0\Rightarrow x_i\in D\) • Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên rút ra kết luận. ----------------- CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Cắt bốn góc của hình vuông đó bốn hình vuông nhỏ bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại như hình sau để được khối hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất? Giải Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt. Ta có 0 < x < a/2 Thể tích khối hộp là: \(V\left(x\right)=x\left(a-2x\right)^2\) Ta phải tim x trong khoảng (0 ; a/2) để V(x) là lớn nhất. Ta có \(V'\left(x\right)=\left(a-2x\right)^2+2.x.\left(a-2x\right)\left(-2\right)=\left(a-2x\right)\left(a-6x\right)\) V'(x) = 0 khi x = a/6 hoặc x = a/2. Trên khoảng (0; a/2) chỉ có x = a/6 làm cho V'(x) = 0. Ta lập bảng biến thiên của V(x) như sau: Từ bảng biến thiên ta thấy V(x) lớn nhất bằng \(\frac{2a^3}{27}\) khi x = a/6 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định của nó : \(f\left(x\right)=x+\sqrt{4-x^2}\) Bài giải : Hàm số \(f\left(x\right)\) xác định khi \(4-x^2\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le2\) Ta có \(f'\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}\) Lập bảng biến thiên Từ đó ta có : \(max_{\left|x\right|\le2}f\left(x\right)=f\left(2\right)=2\sqrt{2}\) \(min_{\left|x\right|\le2}f\left(x\right)=min\left\{f\left(-2\right);f\left(2\right)\right\}=min\left\{-2;2\right\}=-2\) Ví dụ 3 : Cho hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}};x\in\left[-1;2\right]\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[-1;2\right]\) Bài giải : Ta có : \(f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\) Lập bảng biến thiên : Từ đó ta có : \(max_{x\in\left[-1;2\right]}f\left(x\right)=f\left(1\right)=\sqrt{2}\) \(min_{x\in\left[-1;2\right]}f\left(x\right)=min\left\{f\left(-1\right),f\left(2\right)\right\}=min\left\{0;\frac{3}{\sqrt{5}}\right\}=0\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \frac{3x-1}{x-3}$ trên [0; 2] 3 \(\frac{1}{3}\) -5 -7 Hướng dẫn giải: Điều kiện để y xác định là \(x\ne3\). Vậy trên [0 ; 2] hàm số luôn xác định. \(y=\frac{3x-1}{x-3}=\frac{3\left(x-3\right)+8}{x-3}=3+\frac{8}{x-3}\) \(y'=\frac{-8}{\left(x-3\right)^2}< 0\) (áp dụng \(\left(\frac{1}{u}\right)'=\frac{-u'}{u^2}\)) y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Vậy y đạt giá trị nhỏ nhất trên [0 ; 2] tại x = 2, khi đó \(y=3+\frac{8}{2-3}=-5\)
Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=x^{2}.e^{x}$ trên [-3; 2] \(GTLN=\frac{4}{e^2};GTNN=0\) \(GTLN=4e^2;GTNN=0\) \(GTLN=4e^2;GTNN=\frac{4}{e^2}\) \(GTLN=4e^2;GTNN=\frac{9}{e^3}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng đạo hàm của tích \(\left(u.v\right)'=u'.v+u.v'\)) ta có: \(y'=x^2\left(e^x\right)'+\left(x^2\right)'.e^x=x^2e^x+2x.e^x=e^x.x.\left(x+2\right)\) y' có hai nghiệm là 0 và -2. Lập bảng biến thiên của y trên [-3; 2] ta có: Điểm cực đại tại x = -2, giá trị \(y\left(-2\right)=\left(-2\right)^2.e^{-2}=\frac{4}{e^2}\). Tại x = 2, ta có \(y\left(2\right)=2^2.e^2=4.e^2\) => Giá trị lớn nhất của y trên [-3 ; 2] là \(4.e^2\) Điểm cực tiểu tai x = 0; ta có y(0) = 0 Tại x = -3, ta có \(y\left(-3\right)=\left(-3\right)^2.e^{-3}=\frac{9}{e^3}\) => Giá trị bé nhất của y trên [-3; 2] là 0.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2sinx-1}{sinx+2}\) -3 1/3 2 -1/2 Hướng dẫn giải: \(y=\frac{2\sin x-1}{\sin x+2}=\frac{2\left(\sin x+2\right)-5}{\sin x+2}=2-\frac{5}{\sin x+2}\) Cách 1: Đặt \(t=\sin x\), với \(-1\le t\le1\) \(y=2-\frac{5}{t+2}\) \(y'=\frac{5}{\left(t+2\right)^2}>0\) y' > 0 với mọi t nên hàm số đồng biến. Vậy giá trị lớn nhất của y trên [-1; 1] là tại t = 1 (ứng với \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)), khi đó \(y=2-\frac{5}{1+2}=\frac{1}{3}\) Cách 2: Ta có \(-1\le\sin x\le1\) => \(1\le\sin x+2\le3\) => \(-5\le-\frac{5}{\sin x+2}\le-\frac{5}{3}\) => \(2-5\le2-\frac{5}{\sin x+2}\le2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}\) Vậy GTLN = 1/3
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^2+3}{x-1}\) trên đoạn [2 ; 4] \(min_{\left[2;4\right]}y=6\) \(min_{\left[2;4\right]}y=-2\) \(min_{\left[2;4\right]}y=-3\) \(min_{\left[2;4\right]}y=\frac{19}{3}\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x^2+3}{x-1}=\frac{x^2-x+x-1+4}{x-1}=x+1+\frac{4}{x-1}\) Miền xác định: \(x\ne1\) Ta có: \(y'=1-\frac{4}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(x-1\right)^2-4}{\left(x-1\right)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2-4}{\left(x-1\right)^2}=0\Leftrightarrow x=3;x=-1\) Ta có bảng xét dấu: => Giá trị nhỏ nhất của y trên [2 ; 4] đạt được khi x = 3 => \(min_{\left[2;4\right]}y=\frac{3^2+3}{3-1}=6.\)
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh x cm, rồi gập tấm nhom lại như hình vẽ dưới đây để được khối hộp chữ nhật không nắp. Tính x sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất? x = 6 x = 3 x = 2 x = 4 Hướng dẫn giải: Gọi a là cạnh tấm nhôm. Ta có 0 < x < a/2 Thể tích khối hộp là: \(V\left(x\right)=x\left(a-2x\right)^2\) Ta phải tim x trong khoảng (0 ; a/2) để V(x) là lớn nhất. Ta có \(V'\left(x\right)=\left(a-2x\right)^2+2.x.\left(a-2x\right)\left(-2\right)=\left(a-2x\right)\left(a-6x\right)\) V'(x) = 0 khi x = a/6 hoặc x = a/2. Trên khoảng (0; a/2) chỉ có x = a/6 làm cho V'(x) = 0. Ta lập bảng biến thiên của V(x) như sau: Từ bảng biến thiên ta thấy V(x) lớn nhất bằng \(\frac{2a^3}{27}\) khi x = a/6 = 12/6 = 2 cm
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{x^2+3}{x-1}\) trên đoạn [2;4] ? \(max_{\left[2;4\right]}y=\frac{11}{3}\) \(max_{\left[2;4\right]}y=6\) \(max_{\left[2;4\right]}y=\frac{19}{3}\) \(max_{\left[2;4\right]}y=7\) Hướng dẫn giải: Trên đoạn [2;4] hàm số xác định. \(y'=\frac{\left(x-1\right)2x-x^2-3}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\) Trên đoạn [2;4] thì y'=0 tại x = 3 và y' đổi dấu từ âm sang dương tại x = 3. Tại x = 3 => y = 6 Tại hai đầu: x = 2 => y=7; x = 4 => y = 19/3 Vậy giá trị lớn nhất của y trên \(\left[2;4\right]\) là 7.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3+\frac{3}{x}\) trên đoạn [2;3] ? \(min_{\left[2;3\right]}y=4\) \(min_{\left[2;3\right]}y=\frac{15}{2}\) \(min_{\left[2;3\right]}y=\frac{19}{2}\) \(min_{\left[2;3\right]}y=28\) Hướng dẫn giải: Trên đoạn [2;3] hàm số luôn xác định. \(y'=3x^2-\frac{3}{x^2}=\frac{3\left(x^4-1\right)}{x^2}=\frac{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2}\) Hàm số không có điểm cực trị trên đoạn [2;3]. Vậy muốn tìm giá trị nhỏ nhất trên [2;3] ta tìm giá trị tai 2 đầu mút: y(2) = 19/2 y(3) = 28 Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 19/2 khi x = 2
Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^6+\frac{2}{5}x^5-\frac{1}{2}x^2+x+1\) trên \(\mathbb{R}\) ? Hàm số không có giá trị lớn nhất \(max_Ry=\frac{17}{30}\) \(max_Ry=\frac{47}{30}\) \(max_Ry=\frac{67}{30}\) Hướng dẫn giải: \(y'=-2x^5+2x^4-x+1=2x^4\left(-x+1\right)-\left(x-1\right)=-\left(x-1\right)\left(2x^4+1\right)\) Ta có: \(y'>0\) khi \(x< 1\) và \(y'< 0\) khi \(x>1\). Vậy hàm số đồng biến với x < 1 và nghịch biến khi x > 1. Vậy hàm số có giá trị lớn nhất khi x = 1 và y(1) = 47/30
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-x^2+mx-1\) bằng 3 ? \(m=2\) \(m=\frac{4\sqrt{3}}{3}\) \(m=4\) \(m=-4\) hoặc \(m=4\) Hướng dẫn giải: Tam thức bậc hai có hệ số a < 0 nên đồ thị là parabol có bề lõm quay xuống, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh Parabol và bằng \(-\frac{\Delta}{4a}\). Theo yêu cầu đề bài ta có: \(-\frac{\Delta}{4a}=3\) \(\Leftrightarrow\frac{-\left(m^2-4\right)}{-4}=3\) \(\Leftrightarrow m=4;m=-4\)
