Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số \(y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) trên tập xác định R ? \(max_Ry=\frac{1}{3}\) \(max_Ry=1\) \(max_Ry=3\) Hàm số không có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải: Tam thức mẫu số có \(\Delta< 0\) nên mẫu số luôn khác 0, suy ra hàm số luôn xác định. Ta có: \(y'=\frac{\left(x^2-x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)\left(2x-1\right)}{\left(x^2-x+1\right)^2}=\frac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2-x+1\right)^2}\) Khảo sát hàm số ta có bảng biến thiên sau: Chú ý: viết lại y như sau: \(y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\frac{x^2-x+1+2x}{x^2-x+1}=1+\frac{2x}{x^2-x+1}=1+\frac{2}{x-1+\frac{1}{x}}\) Khi \(x\rightarrow\pm\infty\) thì \(y\rightarrow1\)
Hàm số \(y=\sqrt{4-x}-\sqrt{x+6}\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=x_0\) . Tìm \(x_0\). \(x_0=-6\) \(x_0=-1\) \(x_0=0\) \(x_0=4\) Hướng dẫn giải: Hàm số có tập xác định \(\left[-6;4\right]\) và có đạo hàm \(y'=\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}< 0\) . Hàm số luôn luôn nghịch biến. Giá trị lớn nhất đạt tại mút trái của tập xác định. A là phương án trả lời đúng.
Xét hàm số \(f\left(x\right)=-x^3-3x^2+m\) với \(x\in\left[-1;1\right]\). Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0. \(m=4\) \(m=3\) \(m=0\) \(m=1\) Hướng dẫn giải: Trong khoảng \(\left(-1;1\right)\) , đạo hàm \(f'\left(x\right)=-3x^2-6x\) chỉ có một nghiệm \(x=0\) . Giá trị của hàm số tại \(x=-1;0;1\) lần lượt là \(m-2;m;m-4\) . So sánh 3 giá trị này suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \(m-4\). Yêu cầu bài toán được thực hiện khi \(m=4\).
Kí hiệu M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\sin2x+\sqrt{2-\sin^22x}\) . Tính \(M-m\). \(M-m=4\) \(M-m=2\) \(M-m=1\) \(M-m=5\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\sin x\) thì M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left(t\right)=t+\sqrt{2-t^2}\) trên đoạn \(\left[-1;1\right]\) . Ta có \(f'\left(t\right)=1-\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}\) . Vì \(f'\left(t\right)=0\) có nghiệm duy nhất \(t=1\) nên trong khoảng \(\left(-1;1\right)\) thì \(f'\left(t\right)=0\) vô nghiệm. Do \(f\left(-1\right)=0,f\left(1\right)=2\) suy ra \(M=2,m=0\) , do đó \(M-m=2\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\left|x^2-x\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\) \(M=\frac{1}{4},m=0\) \(M=2,m=\frac{1}{4}\) \(M=6,m=0\) \(M=6,m=2\) Hướng dẫn giải: Vẽ cung parabon \(y=x^2-2x,x\in\left[-2;2\right]\) . Giữ nguyên phần phía trên trục hoành và thay phần phía dưới trục hoành bằng hình đối xứng của nó qua trục hoành ta được đồ thị của hàm số đã cho. Từ đó thấy ngay \(M=6,m=0\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\frac{3\cos x-1}{3+\cos x}\) \(M=0,5,m=-2\) \(M=-0,25,m=-2\) \(M=0,5,m=-\frac{1}{3}\) \(M=-0,5,m=-2\) Hướng dẫn giải: \(M,m\) là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left(t\right)=\frac{3t-1}{3+t}\) trên đoạn \(\left[-1;1\right]\) . So sánh giá trị \(f\left(t\right)\) tại hai đầu mút của đoạn \(\left[-1;1\right]\) ta được \(M=0,5,m=-2\)
Một vật chuyển động theo qui luật \(s=\frac{1}{2}t^3+9t^2\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? 216 (m/s) 30 (m/s) 400 (m/s) 54 (m/s) Hướng dẫn giải: Vận tốc \(v\) là đạo hàm của \(s\). \(v=s'=-\frac{3}{2}t^2+18t\) Ta cần tìm \(v_{max}\) với \(t\in\left[0;10\right]\). Ta có: \(v'=-3t+18\) \(v'=0\) khi \(t=6\). Ta tính \(v\) tại các đầu mút 0; 10 và tại điểm cực trị: 6. Ta có \(v\) nhận các giá trị tại các điểm 0; 6 ; 10 lần lượt là: 0; 54; 30. Vậy \(v_{max}=54\) (m/s)
Tìm tập giá trị của hàm số \(y=\dfrac{x-1}{\lvert x\rvert}\). \(\left(-\infty;0\right)\) \(\left(-1;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;1\right)\) \(\left(-\infty;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Tập xác định \(\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\) . Với \(x\in\left(0;+\infty\right)\) thì \(y=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}\) có \(y'=\frac{1}{x^2}>0\) . Hơn nữa \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}y=-\infty;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=1\). Tương tự, với \(x\in\left(-\infty;0\right)\) thì \(y=\frac{x-1}{-x}=-1+\frac{1}{x}\), có \(y'=-\frac{1}{x^2}< 0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-1\); \(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}y=-\infty\). Vì vậy hàm số đã cho có bảng biến thiên sau: Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left(-\infty;1\right)\).
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có bảng biến thiên sau đây: Mệnh đề nào sau đây đúng? \(y_{CĐ}=5\). \(y_{CT}=0\). \(min_y=4\). \(maxy=5\). Hướng dẫn giải: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có tập giá trị là \(\left(-\infty;+\infty\right)\) nên các khẳng định \(min_y=4\) và \(maxy=5\) là sai. Cũng từ bảng biến thiên đã cho ta thấy \(y_{CĐ}=5\) và \(y_{CT}=4\). Đáp số: \(y_{CĐ}=5\),
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=3x+\dfrac{4}{x^2}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =3\sqrt[3]{9}\). \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =7\). \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =\frac{{33}}{5}\). \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =2\sqrt[3]{9}\) Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức Cô sy ta có \(y=3x+\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{3x}{2}+\dfrac{3x}{2}+\dfrac{4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{3x}{2}.\dfrac{3x}{2}.\dfrac{4}{x^2}}=3\sqrt[3]{9}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{3x}{2}=\dfrac{4}{x^2}\Leftrightarrow x^3=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =3\sqrt[3]{9}\).
