Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y={x^2} + \frac{2}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) \(m=\dfrac{17}{4}\) m = 10 m = 3 m = 5 Hướng dẫn giải: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương ta có \(y=x^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\ge3\sqrt[3]{x^2.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}}=3\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\in\left[\dfrac{1}{2};2\right]\) Vì vậy \(m=3\). Cách 2: \(y'=2x-\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{2\left(x^3-1\right)}{x^2}\). Trong khoảng \(\left(\dfrac{1}{2};2\right)\), đạo hàm \(y'\)triệt tiêu đúng một lần tại \(x=1\). So sánh các giá trị hàm số đã cho tại \(x=1\) và tại hai đầu mút của đoạn đang xét ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất \(m=3\) tại \(x=1\).
Cho hàm số \(y=f(x)\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên. Đặt \(g(x) = 2f(x) + {\left( {x + 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng? \(g\left(1\right)< g\left(3\right)< g\left(-3\right)\) \(g\left(1\right)< g\left(3\right)=g\left(-3\right)\) \(g\left(1\right)< g\left(-3\right)< g\left(3\right)\) \(g\left(1\right)>g\left(3\right)=g\left(-3\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(g\left(x\right)=2f\left(x\right)+\left(x+1\right)^2\), \(g'\left(x\right)=2f'\left(x\right)+2\left(x+1\right)=2\left[f'\left(x\right)+\left(x+1\right)\right]\). Từ đồ thị đã cho ta thấy đường thẳng \(y=-\left(x+1\right)\) cắt đồ thị \(y=f'\left(x\right)\) tại 3 điểm: A(-3;2), B(1;-2), C(3;-4) và đồ thị \(y=f'\left(x\right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y=-\left(x+1\right)\) khi và chỉ khi \(x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;3\right)\) Do đó suy ra \(g'\left(x\right)\) có 3 nghiệm phân biệt \(x=-3;x=1;x=3\) và dương khi và chỉ khi \(x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;3\right)\). Vậy hàm số \(y=g\left(x\right)\) có bảng biến thiên sau Từ đó \(g\left(1\right)< g\left(3\right)\) và \(g\left(1\right)< g\left(-3\right)\). Còn phải so sánh với \(g\left(-3\right)\) với \(g\left(3\right)\). Để làm điều này chú ý rằng từ đồ thị đã cho ta thấy diện tích \(S_1\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=-3;x=1;y=f'\left(x\right);y=-\left(x+1\right)\) lớn hơn diện tích \(S_2\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=1;x=3;y=f'\left(x\right);y=-\left(x+1\right)\). Mà \(S_1=\int\limits^1_{-3}\left|f'\left(x\right)+\left(x+1\right)\right|dx=\int\limits^1_{-3}\left|g'\left(x\right)\right|dx=\int\limits^1_{-3}-g'\left(x\right)dx\)\(=g\left(-3\right)-g\left(1\right)\) và \(S_2=\int\limits^3_1\left|f'\left(x\right)+\left(x+1\right)\right|dx=\int\limits^3_1\left|g'\left(x\right)\right|dx=\int\limits^3_1g'\left(x\right)dx=g\left(3\right)-g\left(1\right)\) , do đó \(S_1>S_2\Rightarrow g\left(-3\right)-g\left(1\right)>g\left(3\right)-g\left(1\right)\Rightarrow g\left(-3\right)>g\left(3\right)\) . Vì vậy \(g\left(1\right)< g\left(3\right)< g\left(-3\right)\).
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left(x\right)=x^4-4x^2+5\) trên đoạn \(\left[-2;3\right]\). 50 5 1 122 Hướng dẫn giải: \(y'=4x^3-8x\) \(y'=0\Leftrightarrow4x\left(x^2-2\right)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}\) Lập bảng biến thiên: Vậy thì \(\max \limits_{[-2;3]}f(x)=50\) khi x = 3.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x^4-4x^2+9\) trên đoạn\(\left[-2;3\right]\) bằng 9 201 54 2 Hướng dẫn giải: \(y=x^4-4x^2+9\) \(y'=4x^3-8x\) \(y'=0\Leftrightarrow4x^3-8x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) Ta có bảng biến thiên: Vậy nên GTLN của hàm số \(y=x^4-4x^2+9\) trên đoạn\(\left[-2;3\right]\) bằng 54.
